专题05 平行线中的三种几何模型全攻略-【B卷常考】2022-2023学年七年级数学下册压轴题攻略（北师大版，成都专用）

专题05 平行线中的三种几何模型全攻略 类型一、“M”模型 例．如图l，点在上，点在上，点在直线之间，连接 ． （1）直接写出的度数为 ； （2）如图2，平分，交的延长线于点证明： （3）如图3，点在的延长线上，点在上，点在内，连 ，则的值为 ． 例2.（1）如图①，已知，图中，，之间有什么关系？ （2）如图②，已知，图中，，，之间有什么关系？ （3）如图③，已知，请直接写出图中，，，，之间的关系 （4）通过以上3个问题，你发现了什么规律？ 【变式训练1】已知直线，直线EF分别与直线a，b相交于点E，F，点A，B分别在直线a，b上，且在直线EF的左侧，点P是直线EF上一动点（不与点E，F重合），设∠PAE＝∠1，∠APB＝∠2，∠PBF＝∠3． (1)如图，当点在线段上运动时，试说明∠1＋∠3＝∠2； (2)当点P在线段EF外运动时有两种情况． ①如图2写出∠1，∠2，∠3之间的关系并给出证明； ②如图3所示，猜想∠1，∠2，∠3之间的关系（不要求证明）． 【变式训练2】如图所示，，是两直线内部一点. （1）与的平分线交于点，探究和之间的的数量关系. （2）如图所示，，，与之间又有何数量关系？ （3）若，，与之间又有又有何数量关系？ 【变式训练3】如图1，AB//CD，E是AB，CD之间的一点． (1)判定∠BAE，∠CDE与∠AED之间的数量关系，并证明你的结论； (2)如图2，若∠BAE，∠CDE的角平分线交于点F，直接写出∠AFD与∠AED之间的数量关系； (3)将图2中的射线DC沿DE翻折交AF于点G得图3，若∠AGD的余角等于2∠E的补角，求∠BAE的大小． 【变式训练4】如图，，点，为直线，上两定点，． (1)如图1，当点在左侧时，，，满足数量关系为 ； (2)若平分，平分，； ①如图2，点在左侧时，求的角度；②如图3，点在右侧，求的角度； (3)如图4，平分，平分，，点在右侧，若与的角平分线交于点，与的角平分线交于点；此次类推，则= ．（直接写出结果） 类型二、铅笔模型 例．问题情景：如图1，AB∥CD，∠PAB＝140°，∠PCD＝135°，求∠APC的度数． （1）丽丽同学看过图形后立即口答出：∠APC＝85°，请补全她的推理依据． 如图2，过点P作PE∥AB， 因为AB∥CD，所以PE∥CD．（ ） 所以∠A+∠APE＝180°，∠C+∠CPE＝180°．（ ） 因为∠PAB＝140°，∠PCD＝135°，所以∠APE＝40°，∠CPE＝45°， ∠APC＝∠APE+∠CPE＝85°． 问题迁移： （2）如图3，AD∥BC，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β，求∠CPD与∠α、∠β之间有什么数量关系？请说明理由． （3）在（2）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请直接写出∠CPD与∠α、∠β之间的数量关系． 【变式训练1】(1)问题发现：如图①，直线𝐴𝐵//𝐶𝐷，E 是 AB 与 AD 之间的一点，连接 BE，CE，可以发现∠𝐵 +∠𝐶= ∠𝐵𝐸𝐶． 请把下面的证明过程补充完整： 证明：过点 E 作𝐸𝐹//𝐴𝐵， ∵ 𝐴𝐵//𝐷𝐶(已知)，𝐸𝐹//𝐴𝐵(辅助线的作法)． ∴ 𝐸𝐹//𝐷𝐶( )．∴ ∠𝐶 = ∠𝐶𝐸𝐹( ) ∵ 𝐸𝐹//𝐴𝐵，∴ ∠𝐵 = ∠𝐵𝐸𝐹(同理)． ∴ ∠𝐵 + ∠𝐶 = (等量代换)，即∠𝐵 + ∠𝐶 = ∠𝐵𝐸𝐶． (2)拓展探究：如果点 E 运动到图②所示的位置，其他条件不变，进一步探究发现：∠𝐵 + ∠𝐶 = 360°−∠𝐵𝐸𝐶，请说明理由． (3)解决问题：如图③，𝐴𝐵//𝐷𝐶，∠𝐶=120°，∠𝐴𝐸𝐶=80°，请直接写出∠𝐴的度数． 【变式训练2】问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC度数． 思路点拨： 小明的思路是：如图2，过P作PE∥AB，通过平行线性质，可分别求出∠APE、∠CPE的度数，从而可求出∠APC的度数； 小丽的思路是：如图3，连接AC，通过平行线性质以及三角形内角和的知识可求出∠APC的度数； 小芳的思路是：如图4，延长AP交DC的延长线于E，通过平行线性质以及三角形外角的相关知识可求出∠APC的度数． 问题解决：请从小明、小丽、小芳的思路中任选一种思路进行推理计算，你求得的∠APC的度数为　 　°； 问题迁移：（1）如图5，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间