2.1.1倾斜角与斜率　讲义——2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

直线的倾斜角与斜率 知识精讲 一．直线方程的概念 如果以一个方程的解为坐标的点都在某条直线上，且这条直线上的点的坐标都是这个方程的解，那么这个方程叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线. 由于方程的图象是一条直线，因此我们今后常说直线.   二．倾斜角 轴正向与直线向上方向所成的角叫做直线的倾斜角．我们规定，与轴平行或重合的直线的倾斜角为. 倾斜角的取值范围是：．   三．直线的斜率 通常，我们把直线中的系数叫做这条直线的斜率．对于垂直于轴的直线，称它的斜率不存在． 倾斜角不是的直线，它的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率，即． 经过两点的直线的斜率公式是：．   四．斜率与倾斜角的关系 当时，直线平行于轴或与轴重合； 当时，直线的倾斜角为锐角；值增大，直线的倾斜角也随着增大；当时，倾斜角接近； 当时，直线的倾斜角为钝角；值增大，直线的倾斜角也随着增大；当时，倾斜角接近； 垂直于轴的直线倾斜角等于． 三点剖析 一．方法点拨 1．倾斜角相同，未必表示同一条直线. 2．三点共线的证明 已知三点，，（互不相等），则： 三点共线 （或或）. 题模精讲 题模一：倾斜角与斜率的关系 例1.1.1 若直线x=1的倾斜角为α，则α等于（　　） A.0° B.45° C.90° D.不存在 例1.1.2 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 例1.1.3 已知，，且直线的倾斜角为，则的值为（ ） A. B. C. D.且 题模二：利用斜率解决三点共线问题 例1.2.1 若、、三点共线，则的值为（ ） A. B. C. D. 例1.2.2 三点、及在同一直线上，则的值等于______________ 题模三：利用斜率公式求最值 例1.3.1 设点，直线过点且与线段相交，则的斜率的取值范围是（） A. B. C. D. 例1.3.2 已知矩形中，中心，点在矩形的边界及内部运动，求的取值范围 随堂练习 随练1.1 直线过点和两点，且的斜率为，则的值为（ ） A. B. C.或 D.或 随练1.2 若三点共线，则 随练1.3 若实数满足：且求的取值范围． 答案解析 直线的倾斜角与斜率 题模精讲 题模一：倾斜角与斜率的关系 例1.1.1 【答案】C 【解析】本题考查直线倾斜角的定义，以及根据直线和x轴的位置关系确定倾斜角的大小． 由直线方程判断直线和x轴的位置关系，从而得出直线倾斜角的大小． 解：直线x=1与x轴垂直，故直线的倾斜角是90°， 故选 C． 例1.1.2 【答案】B 【解析】设倾斜角为，则，故倾斜角为 例1.1.3 【答案】D 【解析】倾斜角为，则直线垂直于轴，则且 题模二：利用斜率解决三点共线问题 例1.2.1 【答案】B 【解析】由题意知，故 例1.2.2 【答案】 【解析】 题模三：利用斜率公式求最值 例1.3.1 【答案】A 【解析】画出直线的方程分别求得从而可得直线的斜率取值范围为． 例1.3.2 【答案】矩形的对角线互相平分，由中点坐标公式得由题意知，点在 矩形的边界及内部运动，则的几何意义为直线的斜率，由此可知 故的取值范围为 【解析】由题意知点在矩形的边界及内部运动，而的几何意义为直线的斜率， 由此得到，从而得到的取值范围 随堂练习 随练1.1 【答案】A 【解析】 随练1.2 【答案】A 【解析】由三点共线的性质可得 随练1.3 【答案】 【解析】函数为一条线段，端点为的几何意义为线段上任一点与原点连线的斜率，由此可知或 0 1 学科网（北京）股份有限公司 $