7.1.1数系的扩充与复数学案-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

学案：数系的扩充与复数 知识讲解 一、复数的概念 1.虚数单位i: 1）它的平方等于，即； 2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立． 3）i与－1的关系:i就是的一个平方根，即方程的一个根，方程的另一个根是-i． 4）i的周期性：， ， ， ． 2.数系的扩充： 复数 3.复数的定义：形如的数叫复数，叫复数的实部，叫复数的虚部．全体复数所成的集合叫做复数集，用字母表示 4.复数的代数形式: 复数通常用字母表示，即，把复数表示成的形式，叫做复数的代数形式． 5.复数与实数、虚数、纯虚数及的关系 对于复数：当且仅当时，复数是实数； 当时，复数叫做虚数； 当且时，叫做纯虚数； 当且仅当时，就是实数 6.两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．这就是说，如果，，，，那么， 二、复数的几何意义 1.复平面、实轴、虚轴： 定义：复数与有序实数对是一一对应关系．点的横坐标是，纵坐标是，复数可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数． 2.几何意义：对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为，它所确定的复数是表示是实数．除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数． 复数复平面内的点 这就是复数的一种几何意义．也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法． 三、复数的四则运算 1.复数与的和的定义： 2.复数与的差的定义： 3.复数的加法运算满足交换律: 4.复数的加法运算满足结合律: 5.乘法运算规则： 设，(、、、)是任意两个复数，那么它们的积 其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把换成，并且把实部与虚部分别合并．两个复数的积仍然是一个复数． 6.乘法运算律： 1） 2） 3） 7.复数除法定义：满足的复数(、)叫复数除以复数的商，记为：或者 8.除法运算规则：设复数 (、)，除以 (，)，其商为（、)，即∵ ∴ 由复数相等定义可知解这个方程组，得 于是有: 利用 于是将的分母有理化得： 原式 ． ∴( 9. 共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．虚部不等于的两个共轭复数也叫做共轭虚数． 典型例题 【例1】、已知复数z=1﹣i（i是虚数单位），则=　 ． 　 【例2】、已知复数z=a+bi（a，b∈R）满足|z|=1，则a•b的范围是　 　． 　 【例3】、如果复数z满足|z+3i|+|z﹣3i|=6，那么|z+1+i|的最小值是　 　 　 【例4】、已知复数z满足|z+1+i|=1（i是虚数单位），则|z﹣3+4i|的最大值为　 　． 　 【例5】、设复平面上点Z1，Z2，…，Zn，…分别对应复数z1，z2，…，zn，…； （1）设z=r（cosα+isinα），（r＞0，α∈R），用数学归纳法证明：zn=rn（cosnα+isinnα），n∈Z+ （2）已知，且（cosα+isinα）（α为实常数），求出数列{zn}的通项公式； （3）在（2）的条件下，求|+…． 【例6】、实数k为何值时，复数z=（k2﹣3k﹣4）+（k2﹣5k﹣6）i是：（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数；（4）0． 　 【例7】、已知复数z1=m+（1﹣m2）•i（m∈R），z2=cosθ+（λ+2sinθ）•i（λ，θ∈R）． （1）当m=3时，求z1的虚部； （2）若z1=z2，求λ的取值范围． 　 【例8】、已知复数z满足，z2的虚部为2． （1）求复数z； （2）设z、z2、z﹣z2在复平面上的对应点分别为A、B、C，求△ABC的面积． 　 【例9】、已知m∈R复数z=（2+i）m2﹣m（1﹣i）﹣（1+2i）（其中i为虚数单位）． （Ⅰ）当实数m取何值时，复数z是纯虚数； （Ⅱ）若复数z在复平面上对应的点位于第四象限，求实数m的取值范围． 　 【例10】、（1）已知z1=1﹣2i，z2=3+4i，求满足=+的复数z． （2）已知z，ω为复数，（1+3i）﹣z为纯虚数，ω=，且|ω|=5．求复数ω． 【例11】、设复数z=lg（m2﹣2m﹣2）+（m2+3m+2）i，试求实数m取何值时， （1）z是纯虚数； （2）z是实数； （3）z•=0； （4）z对应的点位于复平面的第二象限． 　 【例12】、设 z+1为关于 x 的方程 x2+mx+n=0，m，n∈R的虚根，i为虚数单位． （1）当 z=﹣1+i 时，求 m、n 的值； （2）若 n=1，在复平面上，设复数 z 所对应的点为 P，复数 2+4i 所对应的点为 Q，试求|PQ|的取值范围． 　 【例