专题34 利用相似解决四边形问题——几何综合-2023年中考数学二轮复习核心考点专题提优拓展训练

专题34 利用相似解决四边形问题——几何综合（原卷版） 专题诠释：几何综合题是中考必考题型。试题一般以全等或相似为中心 , 以四边形为重点 , 常常是三角形、四边形、相似三角形、锐角三角函数等知识的综合运用. 解题策略：解答几何综合题应注意 :(1) 注意观察、分析图形 , 把复杂的图形分解成几个基本图形 , 通过添加辅助线补全或构造基本图形 .(2) 掌握常规的证题方法和思路 ;(3) 运用转化的思想解决几何证明问题 , 运用方程的思想解决计算问题。另外还用结合数学思想和方法。 第一部分 专题典例剖析 类型一 利用相似解决平行四边形问题 1．（2022•贺州）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且ED＝BF，连接AF，CE，AC，EF，且AC与EF相交于点O． （1）求证：四边形AFCE是平行四边形； （2）若AC平分∠FAE，AC＝8，tan∠DAC，求四边形AFCE的面积． 2．（2022•杭州）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连接DE，EF．已知四边形BFED是平行四边形，． （1）若AB＝8，求线段AD的长． （2）若△ADE的面积为1，求平行四边形BFED的面积． 3．（2021•长春）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC＝4，BD＝8，点E在边AD上，AEAD，连结BE交AC于点M． （1）求AM的长． （2）tan∠MBO的值为 　　． 类型二 利用相似解决矩形问题 4．（2022•玉林）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝4，点E是DC边上的任一点（不包括端点D，C），过点A作AF⊥AE交CB的延长线于点F，设DE＝a． （1）求BF的长（用含a的代数式表示）； （2）连接EF交AB于点G，连接GC，当GC∥AE时，求证：四边形AGCE是菱形． 5．（2022•泰安）如图，矩形ABCD中，点E在DC上，DE＝BE，AC与BD相交于点O，BE与AC相交于点F． （1）若BE平分∠CBD，求证：BF⊥AC； （2）找出图中与△OBF相似的三角形，并说明理由； （3）若OF＝3，EF＝2，求DE的长度． 6．（2022秋•苏州期末）如图，矩形ABCD中，AD＝3，CD＝4，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度在射线AB上向右运动，运动时间为t秒，连接DP交AC于点Q． （1）求证：△DCQ∽△PAQ； （2）若△ADQ是以AD为腰的等腰三角形，求运动时间t的值． 类型三 利用相似解决菱形问题 7．（2022•长春）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＜BC．点D是AC的中点，过点D作DE⊥AC交BC于点E．延长ED至点F，使得DF＝DE，连结AE、AF、CF． （1）求证：四边形AECF是菱形； （2）若，则tan∠BCF的值为 　 ． 8．（2022秋•海淀区校级期末）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，经过点C的直线分别与AB，AD的延长线相交于点P，Q，QB，PD相交于点O． （Ⅰ）求证：BD2＝PB•DQ； （Ⅱ）求证：BD2＝OD•PD． 9．（2022秋•汝州市期末）如图，菱形ABCD的对角线AC和BD交于点O，分别过点C、D作CE∥BD，DE∥AC，CE和DE交于点E． （1）求证：四边形ODEC是矩形； （2）连接AE，交CD于点F，当∠ADB＝60°，AD＝4时，直接写出EA的长． 10．（2022秋•白塔区月考）如图，在菱形ABCD中，DE⊥BC交BC的延长线于点E，连结AE交BD于点F，交CD于点G，连结CF． （1）求证：AF2＝EF•GF； （2）若菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，求FG的长． 类型一 利用相似解决正方形问题 11．（2022秋•青浦区校级期末）如图，在三角形ABC中，∠C＝90°，四边形DEFC是边长为4的正方形，且D、E、F分别在边AC、AB、BC上．把三角形ADE绕点E逆时针旋转一定的角度． （1）当点D与点F重合时，点A的对应点G落在边BC上，此时四边形ACGE的面积为 　 　； （2）当点D的对应点D1落在线段BE上时，点A的对应点为点A1，在旋转过程中点A经过的路程为l1，点D经过的路程为l2，且l1：l2＝3：2，求线段AD1的长． 12．（2022秋•成华区期末）如图，点E是正方形ABCD的对角线CA延长线上一点，连接BE，将BE绕点B顺时针旋转90°至BF，连接EF，EF交AD于点G． （1）求证：△ABE∽△AEG； （2）若正方形ABCD的边长为4，点G为AD的中点，求AE的长． 13．（2022秋•洛阳期末）如图，把边长为3的正方形OABC绕点O逆时针旋转n°（0°＜n＜90°）得到正方形ODEF，DE与BC交于点P，ED的延长线交AB于点Q