6.4.3 课时2 正弦定理（精讲）-【题型分类归纳】2022-2023学年高一数学同步讲与练(人教A版2019必修第二册)

6.4.3 课时2 正弦定理 重点：1、用向量的方法推导正弦定理；2、用正弦定理解三角形。 难点：正弦定理、余弦定理在解三角形中的综合应用 一、正弦定理 1、公式表示：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即. 【注意】正弦定理的特点 (1)适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立． (2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式． (3)刻画规律：正弦定理刻画了三角形中边与角的一种数量关系，可以实现三角形中边角关系的互化． 2、正弦定理推论：在中，内角，，所对的边分别为，，，外接圆半径为 ①， ②， ③，，， ④， ⑤，，（实现边和角的互相转化） 3、正弦定理的推导示例： 当△ABC是锐角三角形时，设边AB的高是CD．根据三角函数的定义， CD＝asinB，CD＝bsinA， 所以asinB＝bsinA，得到＝. 同理，在△ABC中＝. 从以上的讨论和探究可得：＝＝. 二、三角形面积公式 在中，内角，，所对的边分别为，，，边，，边上的高分别记作，，，为内切圆半径，为外接圆半径，为内切圆心。 （1） （2） 证明：当为锐角三角形时，作于点， 设的面积为，则； 当为钝角三角形时，作边长的高， 则， ∴； 当为直角三角形时，上述结论依然成立。 （3） 证明： （4） 证明： 四、正弦定理解决的两类问题 1、类型1：已知两角及一边解三角形 方法概要：（1）首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值； （2）如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角、大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一； （3）如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论 2、类型2：已知两边及一边对角，解三角形（三角形多解问题） 在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下： 当为锐角时： 当为钝角时 五、利用正弦定理判断三角形的形状 法一化角为边：将题目中的所有条件，利用正弦定理化角为边，再根据多项式的有关知识(分解因式、配方等)得到边的关系，如a＝b，a2＋b2＝c2等，进而确定三角形的形状．利用的公式为：sin A＝，sin B＝，sin C＝ 法二化边为角：将题目中所有的条件，利用正弦定理化边为角，再根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系，进而确定三角形的形状．利用的公式为：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2RsinC 题型一 正弦定理解三角形 【例1】（2021秋·河南新乡·高一校考阶段练习）已知a，b，c分别是的三个内角A，B，C所对的边，若，，，则a等于（ ） A． B． C． D．1 【变式1-1】．（2022·高一课时练习）在中，如果，那么的长为（ ） A．72 B． C． D．30 【变式1-2】（2022春·广西贵港·高一校考期中）记的内角的对边分别为，若，则（ ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2022春·黑龙江大庆·高一校考阶段练习）已知中，，则B等于（ ） A．或 B．或 C． D． 题型二 正弦定理判断三角形解的个数 【例2】（2022春·吉林延边·高一延边第一中学校考期中）在中，已知，则满足条件的三角形（ ） A．有2个 B．有1个 C．不存在 D．无法确定 【变式2-1】（2022春·河南濮阳·高一统考期中）在中，内角的对边分别为.已知，则此三角形的解的情况是（ ） A．有一解 B．有两解 C．无解 D．有解但解的个数不确定 【变式2-2】（2022春·河南安阳·高一安阳县第一高级中学校考阶段练习）在中，内角、、所对的边分别为、、，不解三角形，确定下列判断正确的是（ ） A．，，，有两解 B．，，，有一解 C．，，，有一解 D．，，，无解 【变式2-3】（2023·全国·高一专题练习）在中，角、、的对边分别为、、，其中有两解的是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 题型三 三角形的面积公式及应用 【例3】（2022春·吉林长春·高一长春市实验中学校考期末）已知在中，，，，且，则的面积为（ ） A． B．3 C． D． 【变式3-1】（2022春·安徽合肥·高一校考阶段练习）在中，分别是角所对的边，，则的面积为（ ） A． B． C． D．