专题16 计数原理（公式、定理、结论图表）-2023年高考数学必背知识手册

 计数原理（公式、定理、结论图表） 一、计数原理 1.分类加法计数原理 概念：完成一件事有类不同方案，在第1类方案中有种不同的方法，在第2类方案中有种不同的方法，…，在第类方案中有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法（也称加法原理） 特征：（1）任何一类方案都能完成这件事；（2）各类方案之间相互独立；（3）分类要做到“不重不漏” 2.分步乘法计数原理 概念：完成一件事需要个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法，…，做第步有种不同的方法，那么，完成这件事共有种不同的方法（也称乘法原理） 特征：（1）任何一步都不能单独完成这件事；（2）各步之间相互依存；（3）分步要做到“步骤完整” 3.两个原理的联系与区别 ⑴.联系:分类加法计数原理和分步乘法计数原理都是解决计数问题最基本、最重要的方法. ⑵区别 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 区别一 完成一件事共有n类办法,关键词是“分类” 完成一件事共有n个步骤,关键词是“分步” 区别二 每类办法中的每种方法都能独立地完成这件事,它是独立的、一次的且每种方法得到的都是最后结果,只需一种方法就可完成这件事 除最后一步外,其他每步得到的只是中间结果,任何一步都不能独立完成这件事,缺少任何一步也不能完成这件事,只有各个步骤都完成了,才能完成这件事 区别三 各类办法之间是互斥的、并列的、独立的 各步之间是关联的、独立的,“关联”确保不遗漏,“独立”确保不重复 4、计数原理的解题步骤 (1)指明要完成一件什么事，并依事件特点确定是“分类”还是“分步”； (2)求每“类”或每“步”中不同方法的种数； (3)利用“相加”或“相乘”得到完成事件的方法总数； (4)作答。 5、从个不同元素中，每次取出个元素，元素可以重复出现，按照一定的顺序排成一排，那么第一、第二……第位上选取元素的方法都是个，所以从个不同元素中，每次取出个元素可重复排列数。 二、排列 1.排列：一般地，从个不同元素中取出个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列 2.排列数：从个不同元素中取出个元素的所有不同排列的个数叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，用符号表示 3.排列数公式：（，且） 三、组合 1.组合：一般地，从个不同的元素中取出个元素合成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合 2.组合数：从个不同元素中取出个元素的所有不同组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，用符号表示 3.组合数公式：（，且） 4.组合数的性质：（1）；（2） 四、二项式定理 1.二项式定理 概念：一般地，对于任意的正整数， 都有. 这个公式称为二项式定理，等号右边的式子称为的二项展开式，的二项展开式共有项，其中各项的系数叫做二项式系数，称为二项展开式的第项，又称为二项展开式的通项 2.二项展开式的特征： （1）二项展开式共有项； （2）二项式系数依次为组合数； （3）各项次数都等于二项式的幂指数； （4）字母的指数由开始按降幂排列到0，的指数由0开始按升幂排列到 3.二项式系数与项的系数的区别：二项式系数为项的系数指该项中除字母外的部分 4.二项式系数的性质 对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等 增减性：当时，二项式系数是逐渐增大的，由对称性知它的后半部分是逐渐减小的 最大值：当是偶数时，中间一项的二项式系数取得最大值；当是奇数时，中间两项的二项式系数相等，且同时取得最大值 5.二项式系数和： （1）二项展开式中各二项式系数之和为； （2）在二项展开式中奇数项的二项式系数之和与偶数项的二项式系数之和相等且都等于. <解题方法与技巧> 一、分类加法计数原理的应用 分类标准是运用分类加法计数原理的难点所在，应抓住题目中的关键词、关键元素和关键位置． (1)根据题目特点恰当选择一个分类标准． (2)分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法，不能重复． (3)分类时除了不能交叉重复外，还不能有遗漏． 典例1： 在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？ [思路点拨]根据情况安排个位、十位上的数字．先确定分类标准，再求出每一类的个数，最后得结论． [解]　法一：分析个位数，可分以下几类： 个位是9，则十位可以是1,2,3，…，8中的一个，故有8个； 个位是8，则十位可以是1,2,3，…，7中的一个，故有7个； 同理，个位是7的有6个；个位是6的有5个；…；个位是2的只有1个． 由分类加法计数原理知，满足条件的两位数有 1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36(个)． 法二：按十位上的数字分别是1,2,3,4,5,6,7,8的情况分成8类，在每一类中满足题目条件的两位数分别是8个，7个，6