解答题系列-数列 (2)-2023届高三数学二轮专题复习

解答题系列-数列（2） 一、解答题 1．已知数列的各项均为正数，记为的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立． ①数列是等差数列：②数列是等差数列；③． 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分． 2．设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项． （1）求的公比； （2）若，求数列的前项和． 3．设数列{an}满足a1=3，． （1）计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明； （2）求数列{2nan}的前n项和Sn． 4．已知数列{an}和{bn}满足a1=1，b1=0， ，. （1）证明：{an+bn}是等比数列，{an–bn}是等差数列； （2）求{an}和{bn}的通项公式. 5．等比数列中，． （1）求的通项公式； （2）记为的前项和．若，求． 6．记为等差数列的前项和，已知，．     （1）求的通项公式；     （2）求，并求的最小值． 7．已知数列的前n项和，其中． （Ⅰ）证明是等比数列，并求其通项公式； （Ⅱ）若 ，求． 8．为等差数列的前n项和，且记，其中表示不超过x的最大整数，如. （Ⅰ）求； （Ⅱ）求数列的前1000项和. 学科网（北京）股份有限公司 $ 解答题系列-数列（2） 一、解答题 1．已知数列的各项均为正数，记为的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立． ①数列是等差数列：②数列是等差数列；③． 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分． 2．设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项． （1）求的公比； （2）若，求数列的前项和． 3．设数列{an}满足a1=3，． （1）计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明； （2）求数列{2nan}的前n项和Sn． 4．已知数列{an}和{bn}满足a1=1，b1=0， ，. （1）证明：{an+bn}是等比数列，{an–bn}是等差数列； （2）求{an}和{bn}的通项公式. 5．等比数列中，． （1）求的通项公式； （2）记为的前项和．若，求． 6．记为等差数列的前项和，已知，．     （1）求的通项公式；     （2）求，并求的最小值． 7．已知数列的前n项和，其中． （Ⅰ）证明是等比数列，并求其通项公式； （Ⅱ）若 ，求． 8．为等差数列的前n项和，且记，其中表示不超过x的最大整数，如. （Ⅰ）求； （Ⅱ）求数列的前1000项和. 参考答案： 1．【解析】选①②作条件证明③： 设，则， 当时，； 当时，； 因为也是等差数列，所以，解得； 所以，，故. 选②③作条件证明①： 因为，所以，，因为也为等差数列，所以公差，所以，故，当时，，当时，满足上式，故的通项公式为，所以，，符合题意. 2．【解析】（1）设的公比为，为的等差中项， ， ； （2）设的前项和为，， ，① ，② ①②得， ， . 3．【解析】（1）由题意可得，，由数列的前三项可猜想数列是以为首项，2为公差的等差数列，即． 证明如下： 当时，成立； 假设时，成立. 那么时，也成立. 则对任意的，都有成立； （2）由（1）可知， ，所以． 4．【解析】(1)由题意可知，，，， 所以，即， 所以数列是首项为、公比为的等比数列，， 因为， 所以，数列是首项、公差为的等差数列，． (2)由(1)可知，，， 所以，． 5． 【解析】（1）设的公比为，由题设得． 由已知得，解得（舍去），或． 故或． （2）若，则．由得，此方程没有正整数解． 若，则．由得，解得． 综上，． 6．（1）；（2），最小值为–16． 【解析】（1）设等差数列的公差为，由得，，解得：，所以． （2）由题意知，即， 所以的最小值为，所以的最小值为． 7．【解析】（Ⅰ）由题意得，故 由，得，即.由得，所以 因此是首项为，公比为的等比数列，于是 （Ⅱ）由（Ⅰ）得.由得，即. 解得. 8．【解析】（Ⅰ）设的公差为，据已知有，解得 所以的通项公式为 （Ⅱ）因为 所以数列的前项和为 学科网（北京）股份有限公司 $