2023年九年级中考数学高频考点突破——圆的切线的证明

2023年中考数学高频考点突破——圆的切线的证明 1．如图，在中，，以为圆心，为半径的交斜边于点，为上一点，使得． (1)证明：为的切线． (2)若，，求线段的长． 2．如图，是的直径，是的弦，与交于点E，，延长至F，连接，使得． (1)求证：是的切线； (2)已知，，求的半径长． 3．如图，点在以为直径的上，平分交于点D，交于点E，过点D作交的延长线于点F． (1)求证：直线是的切线； (2)若°，，求DF的长． 4．如图，内接于，是的直径．直线与相切于点，在上取一点使得，线段的延长线交于点． (1)求证：直线是的切线； (2)若，求图中阴影部分的面积（结果保留π）． 5．如图，在中，点在斜边上，以为圆心，为半径作圆，分别与，相交于点，，连接，已知． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 6．如图，已知是的直径，是切线，C是上的点且． (1)求证：是的切线； (2)若，，求长． 7．如图，分别切于，且，连接，延长交于点M，过点M作交于N． (1)求证：是的切线； (2)当，时，求半径． 8．如图，是的弦，点为上一点，过点作的垂线与的延长线交于点，连接并延长，与交于点，连结，． (1)求证：是的切线； (2)若，，则的长为___________． 9．如图，已知是圆O的直径，C是圆O上异于A，B的点，D为中点，且于点E，连接． (1)求证：是圆O的切线； (2)若圆O的直径为13，且，求的长． 10．如图，已知是等边三角形，以AB为直径作，交BC边于点D，交AC边于点F，作于点E． (1)求证：DE是的切线； (2)若的边长为4，求EF的长度． 11．已知在中，，以为直径的交于点D，过圆心O作的平行经，交于点E，连接并延长交的延长线于点F． (1)求证：是的切线； (2)若，求． 12．如图，为的直径，过圆上一点D作的切线交的延长线于点C，过点O作交于点E，连接． (1)求证：直线与相切． (2)若，，求的长． 13．如图，是⊙的直径，点是弧中点，连接，于点，延长，交于点，连接，并延长交于点． (1)求证：是⊙的切线． (2)若，，求． 14．如图，为的直径，点C为上一点，于点D，平分． (1)求证：直线是的切线： (2)若，的半径为4，求图中阴影部分的面积． 15．已知：如图，⨀O过正方形的顶点A、B，且与边相切于点E．点F是与⨀O的交点，连接，点G是延长线一点，连接，且． (1)求证：是⨀O的切线； (2)如果正方形边长为2，求的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质得到,，根据直角三角形的性质得到，从而证明，即可证明，从而证得为的切线； （2）先根据勾股定理计算出，再根据勾股定理即可计算出线段的长． 【解析】（1）证明：如下图所示，连接， ∵， ∴,， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为的切线； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ． 【点评】本题考查切线的判定，勾股定理，解题的关键是熟知圆的相关知识． 2．(1)见解析 (2)2 【分析】（1）连接，由垂径定理的推论可得垂直平分，，进一步得，，可得，得，结论得证； （2）作于点H，连接，则，由角平分线的性质定理得到，设的半径长为r,则，再证，得到，即可求得答案． 【解析】（1）连接， ∵是的直径，是的弦，， ∴垂直平分，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵的度数，度数的度数， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）作于点H，连接， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 设的半径长为r，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴的半径长为2． 【点评】此题主要考查了垂径定理及推论、圆周角定理及推论、相似三角形的判定和性质、切线的判定定理等知识，熟练掌握相关定理并灵活应用是解题的关键． 3．(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，证明可得结论； （2）再中，，，得到，，再在中，由，继而求得； 【解析】（1）证明：连接． ∵ 是的直径，平分， ∴ . 又∵ ， ∴ ． 即 ． ∴ 直线为的切线． （2）解：∵ 是的直径， ∴． 又∵，， ∴ ． ∴ ． ∵ ， ∴ . ∵ ， ∴ , ， 设则， 又， 在中，由勾股定理得：， 解得：， 故 【点评】本题属于圆综合题，考查了垂径定理，圆周角定理，平行线的判定，特殊角的直角三角形性质，等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线解决问题． 4．(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，由直线与相切于点，得，由，得，从而得到，即可证明直线是的切线； （2）先证明是等边三角形，则，再根据勾股定理求出的长，由求出图中阴影部分的面积即可． 【解析】（1）证明：连接， 直线