备战2023年中考数学--知识点考点复习6--一元二次方程

第六讲 一元二次方程 【知识点梳理】 一元二次方程的概念与解法 1．一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程． 2．一般形式：（其中为常数，），其中分别叫做二次项、一次项和常数项，分别称为二次项系数和一次项系数． 注意：（1）在一元二次方程的一般形式中要注意，因为当时，不含有二次项，即不是一元二次方程；（2）一元二次方程必须具备三个条件：①必须是整式方程；②必须只含有一个未知数；③所含未知数的最高次数是2． 3．直接开平方法：适合于或形式的方程． 4．配方法：（1）化二次项系数为1；（2）移项，使方程左边只含有二次项和一次项，右边为常数项； （3）方程两边同时加上一次项系数一半的平方；（4）把方程整理成的形式； （5）运用直接开平方法解方程． 5．公式法：（1）把方程化为一般形式，即；（2）确定的值；（3）求出的值；（4）将的值代入即可． 6．因式分解法：基本思想是把方程化成的形式，可得或． 一元二次方程根与系数的关系 1．根的判别式：一元二次方程是否有实数根，由的符号来确定，我们把叫做一元二次方程根的判别式． 2．一元二次方程根的情况与判别式的关系 （1）当时，方程有两个不相等的实数根； （2）当时，方程有1个（两个相等的）实数根； （3）当时，方程没有实数根． 3．根与系数关系：对于一元二次方程 其中为常数，），设其两根分别为，，则，． 一元二次方程的实际应用 列一元二次方程解应用题步骤和列一元一次方程(组)解应用题步骤一样，即审、设、列、解、验、答六步．列一元二次方程解应用题，经济类和面积类问题是常考内容。 1．增长率等量关系 （1）增长率=增长量÷基础量．（2）设为原来量，为平均增长率，为增长次数，为增长后的量，则；当为平均下降率时，则有． 2．利润等量关系：（1）利润=售价－成本．（2）利润率=×100％． 3．面积问题 （1）类型1：如图1所示的矩形长为，宽为，空白“回形”道路的宽为，则阴影部分的面积为． （2）类型2：如图2所示的矩形长为，宽为，阴影道路的宽为，则空白部分的面积为． （3）类型3：如图3所示的矩形长为，宽为，阴影道路的宽为，则4块空白部分的面积之和可转化为． 图1 图2 图3 4. 比赛问题 （1）重叠类型（双循环）：n支球队互相之间都要打一场比赛，总共比赛场次为m。 ∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场 ∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场 ∵A与B比赛和B与A比赛是同一场比赛，∴上述求法有重叠部分. ∴m= （2）不重叠类型（单循环）：n支球队，每支球队要在主场与所有球队各打一场，总共比赛场次为m。 ∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场 ∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场. ∵A与B比赛在A的主场，B与A比赛在B的主场，不是同一场比赛，∴上述求法无重叠. ∴m= 【考点梳理】 考向一：一元二次方程的概念与解法 1．已知方程3x2﹣（k﹣1）x﹣k+7＝0的一个根为0，则k的值为（　　） A．3 B．﹣3 C．7 D．﹣7 2．关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中，它的一个根为﹣1，则（　　） A．a+b+c＝0 B．a+b﹣c＝0 C．a﹣b+c＝0 D．a﹣b﹣c＝0 3．若x＝3是关于x的方程﹣3a＝0的一个根，则在平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+2的图象不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．已知x，y为实数，求代数式x2+y2+2x﹣4y+7的最小值　 　． 5．关于x的式子x2+6x﹣9，当x＝　 　时，式子有最　 　值，且这个值为　 ． 6．用适当的方法解一元二次方程 （1）x2﹣9＝0 （2）2x2﹣7x＝0 （3）x2﹣2x﹣5＝0 （4）3x2﹣1＝4x （5）3（x﹣2）2＝x（x﹣2） （6）（x+8）（x+1）＝﹣12． 7．选用适当方法解一元二次方程 （1）（x﹣2）2＝（2x+5）2 （2）（x2+3x）2﹣2（x2+3x）﹣8＝0 （3）x2﹣2mx+m2﹣n2＝0 （4）（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣1＝0． 8．解下列一元二次方程 （1）4x2﹣16x+15＝0（用配方法解） （2）9﹣x2＝2x2﹣6x（用分解因式法解） （3）（x+1）（2﹣x）＝1（选择适当的方法解