2.2 二倍角的三角函数（Word练习）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册（湘教版2019）

1．已知α是第三象限角，cos α＝－，则sin 2α等于(　　) A．－ 　　　B．　　 　C．－　　　 D． D　[由α是第三象限角，且cos α＝－，得sin α＝－，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝.] 2．已知sin α－cos α＝，则sin 2α等于(　　) A．－ B．－ C． D． A　[∵sin α－cos α＝，∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－sin 2α＝，∴sin 2α＝－.] 3．(多选题)下列各式中，值为的是(　　) A． B．tan15°cos215° C．cos2－sin2 D． AC　[A符合，原式＝×＝tan45°＝；B不符合，原式＝sin 15°cos 15°＝sin 30°＝；C符合，原式＝cos ＝；D不符合，原式＝×＝tan60°＝.] 4．(2021·全国乙卷)cos2－cos2＝(　　) A． B． C． D． D　[由题意得cos2－cos2＝cos2－cos2(－)＝cos2－sin2＝cos＝.故选D.] 5．已知tan α＝4，则的值为(　　) A．18 B． C．16 D． D　[＝＝＝＝，选D.] 6．已知sin ＋cos ＝，那么sin θ＝________，cos 2θ＝________． 　　[因为sin ＋cos ＝， 所以＝， 即1＋2sin cos ＝，所以sin θ＝， 所以cos 2θ＝1－2sin2θ＝1－2×＝.] 7．(2020·江苏卷)已知sin2＝，则sin2α的值是________． 　[因为sin2＝， 所以＝，即＝， 所以sin 2α＝.] 8．若f(x)＝2tan x－，则f＝________． 8　[∵f(x)＝＋ ＝2＝＝， ∴f＝＝＝8.] 9．已知α为锐角，且tan ＝2. (1)求tan α的值； (2)求的值． 解　(1)tan ＝， 所以＝2，1＋tan α＝2－2tan α， 所以tan α＝. (2)＝ ＝＝＝sin α. 因为tan α＝，所以cos α＝3sin α， 又sin2α＋cos2α＝1，所以sin2α＝， 又α为锐角，所以sinα＝， 所以＝. 10．已知函数f(x)＝cos －2sin x cos x. (1)f(x)的最小正周期； (2)求证：当x∈时，f(x)≥－. (1)解　f(x)＝cos 2x＋sin 2x－sin 2x ＝sin 2x＋cos 2x＝sin ，所以f(x)的最小正周期T＝＝π. (2)证明　因为－≤x≤， 所以－≤2x＋≤，所以f(x)在上单调递增，在上单调递减， f＝sin ＝－， f＝sin ＝，所以f(x)min＝－， 所以当x∈时，f(x)≥－. 11．(多选题)下列化简正确的是(　　) A．sin 15°sin 30°sin 75°＝ B．cos215°－sin215°＝ C．＝sin10° D．＝tan410° ABCD　[对于选项A：sin15°sin 30°sin 75°＝sin 15°sin 30°cos 15°＝sin230°＝，故选项A正确；对于选项B：cos215°－sin215°＝cos30°＝，故选项B正确；对于选项C： ＝ ＝＝cos10°，故选项C正确；对于选项D： ＝ ＝ ＝＝ ＝＝＝ ＝tan410°，故选项D正确．] 12．(2020·全国卷Ⅰ)已知α∈(0，π)，且3cos2α－8cos α＝5，则sin α＝(　　) A． B． C． D． A　[由3cos 2α－8cos α＝5，得3(2cos2α－1)－8cosα＝5，即3cos2α－4cosα－4＝0， 解得cos α＝－或cos α＝2(舍去). 又因为α∈(0，π)，所以sin α＞0， 所以sin α＝＝＝.] 13．等腰三角形一个底角的余弦值为，那么这个三角形顶角的正弦值为________． 　[设A是等腰△ABC的顶角，B为△ABC的一个底角，则cos B＝， sin B＝＝＝. 所以sin A＝sin (180°－2B)＝sin 2B＝2sin B cos B＝2××＝.] 14．已知函数f(x)＝2cos ，x∈R. (1)求f(π)的值； (2)若f＝，α∈，求f(2α)的值． 解　(1)f(π)＝2cos ＝－2cos ＝－2×＝－. (2)因为f＝2cos ＝2cos (α＋)＝－2sin α＝，所以sin α＝－. 又α∈， 所以cos α＝＝＝， sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝－， cos 2α＝2cos2α－1＝2×－1＝. 所以f(2α)＝2cos ＝2cos 2αcos ＋2si