2023年中考数学高频考点训练——二次函数图象与坐标轴交点问题

2023年九年级中考数学高频考点训练——二次函数图象与坐标轴交点问题 一、综合题 1．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2﹣2mx+1图象与y轴的交点为A，将点A向右平移4个单位长度得到点B． （1）直接写出点A与点B的坐标； （2）求出抛物线的对称轴（用含m的式子表示）； （3）若函数y＝x2﹣2mx+1的图象与线段AB恰有一个公共点，求m的取值范围． 2．已知二次函数y=x2+2mx+m2-1（m为常数）. （1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点； （2）若函数的图象与x轴的两个公共点分别在原点的两侧，求m的取值范围. 3．如图，抛物线y＝ax2﹣4ax与x轴交于O，A两点，点P（0，﹣6）为y轴上一点，直线PC平行于x轴，交抛物线于点B，C（点C在点B右侧），点C关于y轴的对称点为D. （1）求抛物线的对称轴及点A的坐标. （2）若BC＝2BD，求抛物线的解析式. 4．已知二次函数 （a≠0）的图象经过点A（4， ），与y轴交于点B，顶点为C（m，n）. （1）求点B的坐标； （2）求证： ； （3）当a>0时，判断n+6<0是否成立？并说明理由. 5．已知二次函数y＝(x﹣m)2﹣(x﹣m)． （1）判断该二次函数图象与x轴交点个数，并说明理由； （2）若该二次函数的顶点坐标为( ，n)，求m、n的值； （3）若把函数图象向上平移k个单位，使得对于任意的x都有y大于0，求证：k＞ ． 6．若二次函数的图象的顶点在一次函数的图象上，则称为的伴随函数，如是的伴随函数. （1）若函数先向右平移2个单位，再向上平移1个单位后是的伴随函数，求的值 （2）若函数的伴随函数与轴只有一个交点，求当时，的取值范围. 7．已知抛物y=ax2+bx+c(b<0)与轴只有一个公共点. （1）若公共点坐标为(2，0)，求a、c满足的关系式； （2）设A为抛物线上的一定点，直线l：y=kx+1－k与抛物线交于点B、C两点，直线BD垂直于直线y=－1,垂足为点D.当k＝0时，直线l与抛物线的一个交点在 y轴上，且△ABC为等腰直角三角形. ①求点A的坐标和抛物线的解析式； ②证明：对于每个给定的实数 k，都有A、D、C三点共线. 8．：在平面直角坐标系中，设二次函数y1＝（x﹣m）（x＋m＋2），其中m≠0 （1）求证：函数y1与x轴有交点； （2）若函数y2＝mx＋n经过函数y1的顶点，求实数m，n的关系式； （3）已知点P（﹣3，a），Q（x1，b）在函数y1的图象上，若a≥b，求x1的取值范围． 9．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，经过点的抛物线与y轴交于点，直线l为该抛物线的对称轴，点B为点A关于对称轴l的对称点，连接AB、OB. （1）试判断该抛物线与x轴交点的情况； （2）点P为对称轴l左侧抛物线上的点，过点P作于点D，作轴于点C，连接CD，问是否存在点P，使得PCD与AOB相似？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由. 10．如图1，抛物线y＝ax2＋ax－2a（a＜0）与x轴交于A、B两点（A在B左边），与y轴交于点C，△ABC的面积为 （1）直接写出A、B两点坐标以及抛物线的解析式 （2）点P（2，h）在抛物线上，点D在第三象限的抛物线上，∠APD＝2∠BAP，求点D的坐标 （3）如图2，直线EF：y＝mx＋n（m＞0）交抛物线于E、F两点，直线PF、PE分别与y轴的正、负半轴交于N、M两点，OM·ON＝4，求证：直线EF必过定点，并求出这个定点的坐标 11．已知二次函数y=mx2+(1﹣2m)x+1﹣3m． （1）当m=2时，求二次函数图象的顶点坐标； （2）已知抛物线与x轴交于不同的点A、B． ①求m的取值范围； ②若3≤m≤4时，求线段AB的最大值及此时二次函数的表达式． 12．已知函数 （m为常数）. （1）试说明该函数的图象与x轴始终有交点； （2）求证：不论m为何值，该函数的图象的顶点都在函数 的图象上. （3）当 时，求该函数的图象的顶点纵坐标的取值范围. 13．综合与实践 如图1，抛物线y＝﹣ x2﹣ x+6与x轴交于点A和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． （1）求直线AC的表达式； （2）点E在抛物线的对称轴上，在平面内是否存在点F，使得以点A，C，E，F为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图2，设点P从点O出发以1个单位长度/秒的速度向终点A运动，同时点Q从点A出发以 个单位长度/秒的速度向终点C运动，运动时间为t秒，当∠OPQ的平分线恰好经过OC的中点时，求t的值． 14．抛物线与x轴交于