1.4角 平 分 线（一）课件 2022-2023学年北师大版八年级数学下册

第一章　三角形的证明 1.4　角 平 分 线（一） 1 1. （2022春·振兴区校级期末）如图1－9－1，ED为△ABC的边AC的垂直平分线，且AB＝5，△BCE的周长为8，则BC的长为（　D　） 图1－9－1 D A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 返回目录 温故知新 2. （2022春·昭通期末）如图1－9－2，在△ABC中，BD平分∠ABC，点E在BC的垂直平分线上，若∠A＝60°，∠ABD＝24°，则∠ACE的度数为（　A　） 图1－9－2 A A. 48° B. 50° C. 55° D. 60° 返回目录 　　A. 定理：角平分线上的点到这个角的 　两边的距离相等　⁠.  两边的距 离相等　 返回目录 探究新知 3. 如图1－9－3，在△ABC中，∠B＝90°，AD为∠BAC的平分线. 若BD＝4，则点D到AC的距离为 （　B　） 图1－9－3 B A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 返回目录 对点范例 　　B. 定理：在一个角的内部，到角的 　两边距离相等　⁠的点在这个角的 　平分线　⁠上.  两边距离相等 平分线　 返回目录 探究新知 4. 已知如图1－9－4，OC是∠AOB内部的一条射线，P是射线OC上任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB. 下列条件：①∠AOC＝∠BOC，②PD＝PE，③OD＝OE，④∠DPO＝∠EPO，其中能判定OC是∠AOB的平分线的有（　D　） D 图1－9－4 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 返回目录 对点范例 知识点1　 ：角平分线的性质 【例1】（课本P30第2题）如图1－9－5，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD＝CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F. 求证：EB＝FC. 思路点拨：首先由角平分线的性质可得DE＝DF，又有BD＝CD，利用“HL”证明Rt△BED≌Rt△CFD，即可得出EB＝FC. 图1－9－5 返回目录 课本母题 证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE＝DF，∠BED＝∠CFD＝90°. 在Rt△BED和Rt△CFD中， ∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL）. ∴EB＝FC. 返回目录 5. 已知：如图1－9－6，OC是∠AOB的平分线，P是OC上的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，点F是OC上的另一点，连接DF，EF. 求证：DF＝EF. 图1－9－6 返回目录 母题变式 证明：∵OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA，PE⊥OB， ∴PD＝PE. 在Rt△OPD和Rt△OPE中， ∴Rt△OPD≌Rt△OPE（HL）. ∴OD＝OE. ∵OC是∠AOB的平分线， 返回目录 ∴∠DOF＝∠EOF. 在△ODF和△OEF中， ∴△ODF≌△OEF（SAS）. ∴DF＝EF. 返回目录 知识点2　 ：角平分线的判定 【例2】如图1－9－7，PA，PC分别是△ABC的外角∠MAC与∠NCA的平分线，并交于点P，PD⊥BM于点D，PF⊥BN于点F. 求证：BP是∠MBN的平分线. 图1－9－7 返回目录 课本母题 思路点拨：过点P作PE⊥AC于点E，已知AP平分∠MAC，PD⊥BM，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得到PD＝PE，同理可得PE＝PF，从而可推出PD＝PF，则点P在∠MBN的平分线上，即BP平分∠MBN. 返回目录 证明：如答图1－9－1，过点P作PE⊥AC于点E. ∵AP平分∠MAC，PD⊥BM，PE⊥AC， ∴PD＝PE. 同理PE＝PF，∴PD＝PF. 又∵PD⊥BM，PF⊥BN， ∴点P在∠MBN的平分线上. ∴BP是∠MBN的平分线. 答图1－9－1 返回目录 6. 如图1－9－8，BD⊥AM于点D，CE⊥AN于点E，BD，CE相交于点F，CF＝BF. 求证：点F在∠A的平分线上. 图1－9－8 证明：∵BD⊥AM，CE⊥AN， ∴∠FDC＝∠FEB＝90°. 在△CDF和△BEF中， ∴△CDF≌△BEF（AAS）.∴FD＝FE. 又∵FD⊥AM，FE⊥AN，∴点F在∠A的平分线上. 返回目录 母题变式 知识点3　 ：创新题 【例3】 如图1－9－9，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，BD＝CD，BE＝CF. （1）求证：AD平分∠BAC； （2）写出AB＋AC与AE之间的等量关系，并证明你的结论. 图1－9－9 返回目录 课本母题 思路点拨：（1）根据“HL”定理得出Rt△BDE≌Rt△CDF，故可得出DE＝DF，所以AD平分∠BAC； （2）由（1）中Rt△BDE≌Rt△CDE可知BE＝CF，AD平分∠BAC，进而可得出△AED≌△AFD，所以AE＝AF，故AB＋AC＝AE－BE＋AF＋CF＝AE