5.3.1 函数的单调性 课件-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

人教A版选择性必修第二册第五章 5.2导数在研究函数中的应用 5.3.1函数的单调性 北流市实验中学 蒋卉 题 学习目标： 1、掌握函数的单调性与导数的正负之间的关系，体会 数形结合思想。 2、能利用导数研究函数的单调性。 3、会求函数的单调区间。 复习回顾 问题1：判断函数单调性的方法有哪些？ (1)定义法： (2)图像法 (3)性质法：增+增一→增，减+减→减，增→减，复合函数 单调性同增异减 (4)导数法 新课引入 问题2：观察下面一些函数的图像，探讨函数的单调性与导数 的正负的关系。 导数f(x)表示函数f八x)在点(xo,f八xo)处的线的斜率 导数f(x) 如何利用导数来研 k>0 k<0 究函数的单调性？ x>x2递减 1 k<0 X X2 递减 k<0 k>0 x1<x<x2递增 不难看出：切线斜率为正，函数递增 切线斜率为负，函数递减 记忆：导数恒正单调增 导数恒负单调减 归纳：函数单调性与导函数正负的关系 一般地，函数fx)在(a,b)内可导 如果恒有f'(x)>0,则f(x)在区间(a,b)内单调递增； 如果恒有f'(x)<0,则f(x)在区间(a,b)内单调递减； 如果恒有f'(x)=0,则f(x)是常数。 f(x)单调性 f'(x)正负 典例剖析课本86 例1．利用导数判断下列函数的单调性： (1）f(x)=x^3+3x（2）f(x)=sinx-x，x∈(0，π)(3)f(x)=-1 解：（1）因为x∈R且f’(x)=3x^2+3=3(x^2+1)>0 所以，函数f(x)在R上单调递增。 （2）因为f(x)=cosx-1<0﹐x∈(0，π) 所以，函数f(x)在(0，π)内单调递减。回 (3)因为x≠0，即x∈(-∞，0)∪(0，+∞) 所以f’(x)=->0 所以，函数f(x)在区间(-∞，0)和(0，+∞)上单调递增。 思考： 讨论函数f代x)=x2-alx(a<0)的惮调性 【思路探索】先确定函数的定义域，再对函数求导，然后判断导数的正负， 即可确定函数的单调性。 解：f八x)定义域为(0，+∞) 22-4 正负？ f'(x)=2x- a x .'a<0 x>0 .2x2-a>0 ∴.f八x)在(0，+∞)上单调递增。 求单调性的步骤 (1)确定函数x)的定义域； (2)求导函数f(x): (3)判断导数值的正负f'(x)>0(或f'(x)<0) (4)确定函数x)的单调性. 课堂练习 课本87 1.判断下列函数的单调性： (1)fx)=x2-2x+4 (2)f(x)=e-x 解：(1)定义域为R (2)定义域为R f'(x)=2x-2=2(x-1) .f'(x)=e-1 由f'(x)>0得，x-1>0,即x>1. 由f'(x)>0得，e-1>0,即x>0: f(x)在区间(1，+∞)上单调递增.f(x)在区间(0，十∞)上单调递增. 由f'(x)<0得，x-1<0,即x<1. 由f'(x)<0得，e-1<0,即x<0. ∴f(x)在区间(-∞，1)上单调递减. ∴…f(x)在区间(-∞，0)上单调递减.