利用导数求闭区间上最值问题 讲义-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

利用导数求闭区间上最值问题 例1．已知x=2是函数f（x）=（x2+ax﹣2a﹣3）ex的一个极值点 （I）求实数a的值； （II）求函数f（x）在的最大值和最小值． 例2．函数的最大值与最小值的和为　 　． 例3．已知函数，当x＞1时，不等式2f′（x）+xg（x）+3＞m（x﹣1）恒成立，则整数m的最大值为　 　． 例4．函数f（x）=（2﹣x）|x﹣6|在区间（﹣∞，a]上取得最小值﹣4，则实数a的取值范围是　 　． 例5．已知函数f（x）=ax2﹣（a+2）x+lnx．若对任意x1，x2∈（0，+∞），x1＜x2，且f（x1）+2x1＜f（x2）+2x2恒成立，则a的取值范围为　 　． 例6．已知函数f（x）=ax2﹣（2a+1）x+2lnx（a≥0） （1）当a=0时，求f（x）的单调区间； （2）求y=f（x）在区间（0，2]上的最大值． 例7．若函数f（x）=x3﹣x在（2m，1﹣m）上有最大值，则实数m的取值范围是　 　． 例8．已知（a+e）x﹣1﹣lnx≤0（e是自然对数的底数）对任意x∈[，2]都成立，则实数a的最大值为　 　． 例9．已知函数，若对任意的x∈[1，+∞）及m∈[1，2]，不等式f（x）≥m2﹣2tm+2恒成立，则实数t的取值范围是　 　． 例10．已知函数f（x）=x3﹣3ax2+2bx在x=1处有极小值﹣1，试求a，b的值， （1）并求出f（x）的单调区间． （2）在区间[﹣2，2]上的最大值与最小值 （3）若关于x的方程f（x）=a有3个不同实根，求实数a的取值范围． 　 例11．已知函数f（x）=过点（1，e）． （1）求y=f（x）的单调区间； （2）当x＞0时，求的最小值； （3）试判断方程f（x）﹣mx=0（m∈R且m为常数）的根的个数． 例12．已知函数f（x）=+xlnx，g（x）=． （1）若∃x1，x2∈[0，2]，使得g（x1）﹣g（x2）≥M总成立，求M的最大值； （2）如果对∀s，t∈[，2]，都有f（s）≥eg（t）成立，求实数a的取值范围． 例13．已知函数f（x）=x﹣（a+1）ln x﹣（a∈R），g（x）=x2+ex﹣xex． （1）当x∈[1，e2]时，求f（x）的最小值； （2）当a＜1时，若存在x1∈[e，e2]，使得对任意的x2∈[﹣1，0]，f（x1）＜g（x2）恒成立，求a的取值范围． 例14．已知实数λ＞0，设函数f（x）=eλx﹣． （Ⅰ）当λ=1时，求函数g（x）=f（x）+lnx﹣x的极值； （Ⅱ）若对任意x∈（0，+∞），不等式f（x）≥0恒成立，求λ的最小值． 例15．已知函数f（x）=blnx． （1）当b=1时，求函数G（x）=x2﹣x﹣f（x）在区间上的最大值与最小值； （2）若在[1，e]上存在x0，使得x0﹣f（x0）＜﹣成立，求b的取值范围． 例16．已知函数， （I）当a=l时，求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程； （II）若x∈[1，+∞）时，函数f（x）的最小值为0，求a的取值范围． 例17．已知函数f（x）=x2，g（x）=x﹣1． （1）若存在x∈R，使f（x）＜b•g（x），求实数b的取值范围； （2）设F（x）=f（x）﹣mg（x）+1﹣m，若F（x）≥0在区间[2，5]上恒成立，求实数m的取值范围． 例18．已知函数f（x）=xlnx+2，g（x）=x2﹣mx． （1）求f（x）在点（1，f（1））处的切线方程； （2）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值； （3）若存在使得mf'（x）+g（x）≥2x+m成立，求实数m的取值范围． 例19．已知函数f（x）=ax﹣ln（x+1），a为实数． （Ⅰ）求函数f（x）的单调区间； （Ⅱ）若a=，不等式＜f（x）在（0，+∞）恒成立，求实数b的取值范围． 例20．已知f（x）=xlnx，g（x）=﹣x2+ax﹣3 （1）对x∈（0，+∞），不等式2f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围； （2）证明：对一切x∈（0，+∞），都有． 　 　 第10页（共20页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 利用导数求闭区间上最值问题（解析版） 例1．已知x=2是函数f（x）=（x2+ax﹣2a﹣3）ex的一个极值点 （I）求实数a的值； （II）求函数f（x）在的最大值和最小值． 解：（I）由f（x）=（x2+ax﹣2a﹣3）ex可得 ∴f′（x）=（2x+a）ex+（x2+ax﹣2a﹣3）ex=[x2+（2+a）x﹣a﹣3]ex ∵x=2是函数f（x）的一个极值点， ∴f′（2）=0 ∴（a+5）e2=0， 解得a=﹣5； （II）由（I）知，f′（x）=（x﹣2）（