（精练Word）第1部分 22微专题三 相似三角形六大模型的运用 微专题精练（精讲本）-【智乐星中考·中考备战】2023年山东潍坊中考数学

模型1 “A”字型 1．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，下列条件不能满足△ADE∽△ACB的条件是(　　) A．∠AED＝∠B B.＝ C．AD·BC＝DE·AC D．∠ADE＝∠C 2．在△ABC中，AB＝6，BC＝12，点P是AB边的中点，点Q是BC边上一个动点，当BQ＝________时，△BPQ与△BAC相似． 模型2　“8”字型 3．(2021·烟台)《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法．如图所示，在井口A处立一根垂直于井口的木杆AB，从木杆的顶端B观察井水水岸D，视线BD与井口的直径AC交于点E.如果测得AB＝1米，AC＝1.6米，AE＝0.4米，那么CD为________米． 4．(2021·包头)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点B作BD⊥CB，垂足为B，且BD＝3，连接CD，与AB相交于点M，过点M作MN⊥CB，垂足为N.若AC＝2，则MN的长为________． 5．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC＝4，BD＝8，点E在边AD上，AE＝AD，连接BE交AC于点M. (1)求AM的长； (2)求tan∠MBO的值． 模型3　“母子”型(“双垂线”型是其特例) 6．(2021·黄冈)如图，在△ABC和△DEC中，∠A＝∠D，∠BCE＝∠ACD. (1)求证：△ABC∽△DEC； (2)若S△ABC∶S△DEC＝4∶9，BC＝6，求EC的长． 7．如图，已知等腰三角形ADC中，AD＝AC，B是线段DC上的一点，连接AB，且有AB＝DB. (1)求证：△ADB∽△CDA； (2)若DB＝2，BC＝3，求AD的值． 模型4　“一线三等角”型 8．如图，点P是线段BD上的一个动点，∠B＝∠D＝90°，AB＝6，CD＝4，BD＝a. (1)当∠APC＝90°，a＝14时，求BP的长度； (2)当∠APC＝90°时，点P有两个点符合要求(即P1，P2)，且P1P2＝2，求a的值； (3)当∠APC＝120°时，点P有且只有一个点符合要求，求a的值． 模型5　“一线三直角”型 9．如图，正方形ABCD的边长等于，点P是BC边上的一动点，∠APB，∠APC的平分线PE，PF分别交AB，CD于E，F两点，连接EF. (1)求证：△BEP∽△CPF； (2)当∠PAB＝30°时，求△PEF的面积． 10．如图，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，使得AE⊥DE； (1)求证：△ABE∽△ECD； (2)若AB＝4，AE＝BC＝5，求CD的长； (3)当△AED∽△ECD时，请写出线段AD，AB，CD之间数量关系，并说明理由． 模型6　“手拉手”模型 11．如图1，△ABC中，AC＝BC，∠A＝30°，点D在AB边上且∠ADC＝45°. (1)求∠BCD的度数； (2)将图1中的△BCD绕点B顺时针旋转α(0°＜α≤360°)得到△BC′D′. ①当点D′恰好落在BC边上时，如图2所示，连接C′C并延长交AB于点E.求证：AE＝BD′； ②连接DD′，如图3所示，当△DBD′与△ACB相似时，直接写出α的度数． 参考答案 1．C　2. 或6　3.3　4. 5．解：(1)在菱形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC， ∴△AEM∽△CBM，∴＝. ∵AE＝AD，∴AE＝BC， ∴＝＝，∴AM＝CM＝AC＝1. (2)∵AO＝AC＝2，BO＝BD＝4，AC⊥BD， ∴∠BOM＝90°，AM＝OM＝AO＝1， ∴tan∠MBO＝＝. 6．(1)证明：∵∠BCE＝∠ACD， ∴∠BCE＋∠ACE＝∠ACD＋∠ACE， ∴∠DCE＝∠ACB.又∵∠A＝∠D， ∴△ABC∽△DEC. (2)解：∵△ABC∽△DEC，＝()2＝， ∴＝.又∵BC＝6，∴CE＝9. 7．(1)证明：∵AD＝AC，∴∠D＝∠C. 又∵AB＝DB，∴∠D＝∠DAB，∴∠DAB＝∠D＝∠C. 又∵∠D＝∠D，∴△ADB∽△CDA. (2)解：∵△ADB∽△CDA，∴＝. ∵DB＝2，BC＝3，∴CD＝5， ∴AD2＝BD·CD＝2×5＝10，∴AD＝. 8．解：(1)∵∠B＝∠D＝90°，∠APC＝90°， ∴∠A＋∠APB＝∠CPD＋∠APB＝90°， ∴∠A＝∠CPD，∴△ABP∽△PDC， ∴＝，即＝，解得BP＝2或BP＝12. (2)设BP＝x，则PD＝a－x. 由(1)可知△ABP∽△PDC，∴＝，即＝， ∴x2－ax＋24＝0.设方程的两个根为x1，x2，根据根与系数的关系可知x1＋x2＝a，x1x2＝24. ∵P1P2＝2，∴|x1－x2|＝2， ∴(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝4， ∴a2－4×24＝4，解得a＝±10