（精讲PPT）第1部分 32微专题五 轴对称——最值问题（精讲本）-【智乐星中考·中考备战】2023年山东潍坊中考数学

精讲本 2023 潍坊 数学 1 微专题五　轴对称——最值问题 利用垂线段最短求最值 类型1　点到直线的所有线段中，垂线段最短 【基本图形】 2 【模型分析】 条件：直线外一定点P，在直线l上找点H，使得点P到直线l的距离最小． 作法：过点P作PH⊥l，垂足为H. 结论：PH最小． 原理：与直线上一动点连成的线段中，垂线段最短． 3 例1 在△ABC中，AB＝6, AC＝8, BC＝10, 点P为边BC上的一动点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，则EF的最小值为(　　) A．5 B. C．4 D．3 4 解：∵AB＝6，AC＝8，BC＝10， ∴AB2＋AC2＝62＋82＝100＝102＝BC2， ∴△ABC是直角三角形，∠A＝90°. 又∵PE⊥AB，PF⊥AC，∴四边形AEPF是矩形． 如图，连接AP，则EF＝AP， ∴当AP⊥BC时，AP取得最小值，即EF取得最小值． 5 6 类型2　胡不归问题求最值 【基本图形】 7 【模型分析】 条件：点A为直线MN上一定点，点B为直线MN外一定点，在直线MN上找一点C，使kAC＋BC(0＜k＜1)的值最小． 作法：过点A作∠DAN，使sin∠DAN＝k，过点B作BH⊥AD，交MN于点C，垂足为H. 结论：kAC＋BC的最小值为BH，构造出与kAC相等的线段，根据垂线段最短可得kAC＋BC的最小值为BH的长． 原理：垂线段最短． 8 例2 (2021·眉山)如图，在菱形ABCD中，AB＝AC＝10，对角线AC，BD 相交于点O，点M在线段AC上，且AM＝3，点P为线段BD上的一个动点，则 MP＋ PB的最小值是______． 9 解：如图，过点P作PE⊥BC于点E，过点M作MH⊥BC于点H.在菱形ABCD中， AB＝BC，∠ABD＝∠CBD. ∵AB＝AC＝10， ∴AB＝BC＝AC＝10， ∴△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°， ∴∠CBD＝30°. 10 11 【八个基本问题】——将军饮马 将军饮马模型 12 13 14 例3 如图，AB两点在直线MN外的同侧，点A到MN的距离AC＝8，点B到MN的距离BD＝5，CD＝4，点P在直线MN上运动，则|PA－PB|的最大值为________． 15 解：如图，延长AB交MN于点P′，过点B作BE⊥AC于点E. ∵P′A－P′B＝AB，|PA－PB|≤AB. ∴当点P运动到点P′时， |PA－PB|的值最大，最大值为AB的长． ∵BD＝5，CD＝4，AC＝8， ∴BE＝CD＝4，AE＝AC－BD＝8－5＝3， ∴AB＝ ＝5， ∴|PA－PB|的最大值为5.故答案为5. 16 例4 (2021·营口)如图，∠MON＝40°，以点O为圆心，4为半径作弧交 OM于点A，交ON于点B，分别以点A，B为圆心，大于 AB的长为半径画 弧，两弧在∠MON的内部相交于点C，画射线OC交 于点D，点E为OA上 一动点，连接BE，DE，则阴影部分周长的最小值为________． 17 18 19 例5 如图，∠AOB＝30°，OC为∠AOB内部一条射线，P为射线OC上一点，OP＝6，点M，N分别为OA，OB边上的动点，则△MNP周长的最小值为________． 20 解：如图，作点P关于OA的对称点P1，点P关于OB的对称点P2，连接P1P2，与OA的交点即为点M，与OB的交点即为点N.△PMN的最小周长为PM＋MN＋PN＝P1M＋MN＋P2N＝P1P2，即为线段P1P2的长．连接OP1，OP2，则OP1＝OP2＝OP＝6. 又∵∠P1OP2＝2∠AOB＝60°，∴△OP1P2是等边三角形，∴P1P2＝OP1＝6，即△PMN的周长的最小值是6.故答案为6. 21 例6 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，AE＝4, AF＝2，点G，H分别是边BC，CD上的动点，则四边形EFGH周长的最小值为________． 22 解：如图，作点E关于边CD的对称点E′，作点 F关于边BC的对称点F′，连接E′F′交边BC于 点G，交边CD于点H， 则F′G＝FG，E′H＝EH， 在CD，BC上分别任取一点H′，G′，连接FG′，F′G′，E′H′，EH′，G′H′， ∴当点H′，G′分别与点H，G重合时，四边形EFGH的周长最小，最小值为EF＋E′F′. 由题意得BF′＝BF＝AF＝2，DE′＝DE＝2， ∠A＝90°，AF′＝6，AE′＝8，∴E′F′＝10. 23 24 例7 如图，在△ABC中，∠ACB＝30°，BC＝6，AC＝5，P为三角形内一点，则PA＋PB＋PC的最小值为________． 25 解：如图，