（精讲PPT）第1部分 20第四章 第五节 解直角三角形及其应用（精讲本）-【智乐星中考·中考备战】2023年山东潍坊中考数学

精讲本 2023 潍坊 数学 1 第五节　解直角三角形及其应用 1．锐角三角函数的定义 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，BC＝a，AC＝b， 则sin A＝____，cos A＝____，tan A＝____. 知识点1 锐角三角函数 2 2．特殊角的三角函数值 1 3 1．解直角三角形 由直角三角形中已知的元素，求出其他所有未知元素的过程，叫做解直角三角形． 2．直角三角形中的边角关系 设在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边． (1)三边关系为____________； (2)三角关系为________________； (3)边角关系为_________，cos A＝ ，_________． 知识点2 解直角三角形 a2＋b2＝c2 ∠A＋∠B＝∠C 4 3．解直角三角形的基本类型 (1)已知直角、斜边和一个锐角，求其他边和角； (2)已知直角、一直角边和一个锐角，求其他边和角； (3)已知直角、斜边和一直角边，求其他边和角； (4)已知直角、两条直角边，求其他边和角． 5 解直角三角形的思路 解直角三角形的思路可概括为“有斜(斜边)用弦(正弦、余弦)，无斜用切(正切)，宁乘勿除，取原避中”．其含义是当已知中有斜边时，选用正弦或余弦，无斜边时，就用正切；当所求元素既可用乘法又可用除法时，则通常用乘法，不用除法，既可用已知数据又可用中间数据求解时，则用已知数据，不用中间数据． 6 知识点3 解直角三角形的应用 7 8 9 例1 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，则sin A的值为 ________． 特殊角的三角函数值 (10年1考) 命题点1 10 B 11 例2 已知在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，BE∶AB＝3∶5.若 CE＝ ，cos∠ACD＝ ，求tan∠AEC的值及CD的长． 解直角三角形 (10年3考) 命题点2 12 【思路分析】 根据“同角的余角相等”得∠ABC＝∠ACD，求同角的余 弦三角函数得 .令BC＝4k，AB＝5k，则AC＝3k.由BE∶AB＝ 3∶5，知BE＝3k，进而在Rt△ACE中，利用三角形函数定义求得 tan∠AEC的值，在Rt△ACD中求出CD的长． 13 【规范解答】 解：在Rt△ACD与Rt△ABC中． ∵∠ABC＋∠CAD＝90°，∠ACD＋∠CAD＝90°， ∴∠ABC＝∠ACD， ∴cos∠ABC＝cos∠ACD＝ . 在Rt△ABC中， ， 令BC＝4k，AB＝5k，则AC＝3k. 由BE∶AB＝3∶5，知BE＝3k， 14 15 变式1 求三角函数值与线段长 如图，在△ABD中，AC⊥BD于点C， ，点E是AB的中点，tan D＝2，CE＝1，求sin∠ECB的值和AD的长． 16 解：∵AC⊥BD， ∴∠ACB＝∠ACD＝90°. ∵点E是AB的中点，CE＝1， ∴BE＝CE＝1，AB＝2CE＝2， ∴∠B＝∠ECB. ∵ ，∴设BC＝3x，CD＝2x. 在Rt△ACD中，tan D＝2， 17 18 变式2 勾股定理与三角函数结合求线段长 已知在△ABC中，D是BC上的一点，且∠DAC＝30°，过点D作ED⊥AD交AC于点E，AE＝4，EC＝2. (1)求证：AD＝CD； (2)若tan B＝3，求线段AB的长． 19 (1)证明：∵ED⊥AD， ∴∠ADE＝90°. 在Rt△ADE中，∠DAE＝30°，AE＝4， ∴∠DEA＝60°，DE＝ AE＝2. ∵EC＝2，∴DE＝EC， ∴∠EDC＝∠C. 又∵∠EDC＋∠C＝∠DEA＝60°， ∴∠C＝30°＝∠DAE， ∴AD＝CD. 20 21 变式3 由三角函数求线段长和三角函数值 如图，在△ABC中，AD是边BC上的高，点E为边AC的中点，BC＝14，AD＝ 12，sin B＝ ，求： (1)线段DC的长； (2)sin∠EDC的值． 22 23 24 考法❶　仰角、俯角问题 (2020·潍坊)某校“综合与实践”小组采用无人机辅助的 方法测量一座桥的长度．如图，桥AB是水平并且笔直的，测量过程中， 小组成员遥控无人机飞到桥AB的上方120米的点C处悬停．此时测得桥两 端A，B两点的俯角分别为60°和45°，求桥AB的长度． 解直角三角形的实际应用 (10年10考) 25 【规范解答】 26 考法❷　坡度、坡角问题 (2019·潍坊)自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步 行健身的人越来越多．为方便群众步行健身，某地政府决定对一段如图 1所示的坡路进行改造．如图2所示，改造前