构造法在导数中的应用讲义-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

构造法在导数中的应用 导数关系构造函数的一些常见结构 1.对于不等式f′(x)＋g′(x)>0，构造函数F(x)＝f(x)＋g(x). 2.对于不等式f′(x)－g′(x)>0，构造函数F(x)＝f(x)－g(x). 特别地，对于不等式f′(x)>k，构造函数F(x)＝f(x)－kx. 3.对于不等式f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，构造函数F(x)＝f(x)·g(x). 4.对于不等式f′(x)g(x)－f(x)g′(x)>0，构造函数F(x)＝. 5.对于不等式xf′(x)＋nf(x)>0，构造函数F(x)＝xn·f(x). 6.对于不等式f′(x)＋f(x)>0，构造函数F(x)＝ex·f(x). 7.对于不等式f′(x)＋kf(x)>0，构造函数F(x)＝ekx·f(x). 一、利用f(x)与ex构造可导型函数 例1 f(x)为定义在R上的可导函数，且f′(x)＞f(x)，对任意正实数a，下列式子一定成立的是(　　) A.f(a)＜eaf(0) B.f(a)＞eaf(0) C.f(a)＜ D.f(a)＞ 总结　(1)出现f′(x)－f(x)的形式，构造函数F(x)＝； (2)出现f′(x)＋f(x)的形式，构造函数F(x)＝f(x)ex. 二、利用f(x)与xn构造可导型函数 例2 已知偶函数f(x)(x≠0)的导函数为f′(x)，且满足f(－1)＝0，当x＞0时，2f(x)＞xf′(x)，则使得f(x)＞0成立的x的取值范围是________. 总结　(1)出现nf(x)＋xf′(x)形式，构造函数F(x)＝xnf(x)； (2)出现xf′(x)－nf(x)形式，构造函数F(x)＝. 三、利用f(x)与sin x，cos x构造可导型函数 例3 (多选)已知定义在上的函数f(x)，f′(x)是f(x)的导函数，且恒有cos xf′(x)＋sin xf(x)＜0成立，则(　　) A.f＞f B.f＞f C.f＞f D.f＞f 总结　f(x)与sin x，cos x相结合构造可导函数的几种常见形式 F(x)＝f(x)sin x，F′(x)＝f′(x)sin x＋f(x)cos x；F(x)＝， F′(x)＝； F(x)＝f(x)cos x，F′(x)＝f′(x)cos x－f(x)sin x；F(x)＝， F′(x)＝. 四、构造具体函数 例4若ln x－ln y＜－(x＞1，y＞1)，则(　　) A.ey－x＞1 B.ey－x＜1 C.ey－x－1＞1 D.ey－x－1＜1 总结　不等式两边凑配成相同的形式，构造具体的函数利用单调性求解. 跟踪训练 1、若函数f(x)的定义域为R，其导函数为f′(x).若f′(x)－3＜0恒成立，f(－2)＝0，则f(x)－3x＜6的解集为(　　) A.(－∞，－2) B.(－2，2) C.(－∞，2) D.(－2，＋∞) 2、已知a<5且ae5＝5ea，b<4且be4＝4eb，c<3且ce3＝3ec，则(　　) A．c<b<a　　　　　　 B．b<c<a C．a<c<b D．a<b<c 3、已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，设函数f(x)的导函数为f′(x)，若对任意x>0都有2f(x)＋xf′(x)>0成立，则(　　) A．4f(－2)<9f(3) B．4f(－2)>9f(3) C．2f(3)>3f(－2) D．3f(－3)<2f(－2) 4、函数f(x)是定义在区间(0，＋∞)上的可导函数，其导函数为f′(x)，且满足f′(x)＋f(x)＞0，则不等式＜的解集为(　　) A．{x|x＞－2 020} B．{x|x＜－2 020} C．{x|－2 023＜x＜0} D．{x|－2 023＜x＜－2 020} 5、已知f(x)为R上的可导函数，且∀x∈R，均有f(x)>f′(x)，则有(　　) A．e2 023f(－2 023)<f(0)，f(2 023)>e2 023f(0) B．e2 023f(－2 023)<f(0)，f(2 023)＜e2 023f(0) C．e2 023f(－2 023)＞f(0)，f(2 023)>e2 023f(0) D．e2 023f(－2 023)＞f(0)，f(2 023)＜e2 023f(0) 6、函数f(x)的导函数f′(x)，对任意x∈R，都有f′(x)>f(x)成立，若f(ln 2)＝2，则满足不等式f(x)>ex的x的范围是(　　) A．x>1　　　　 B．0<x<1 C．x>ln 2　　　　 D．0<x<ln 2 7、f(x)为定义在R上的可导函数，且f′(x)>f(x)，对任意正实数a，下列式子成立的是(　　) A．f(a)<eaf(0)　　　　 B．f(a)>eaf(0