专题14 数列（公式、定理、结论图表）-2023年高考数学必背知识手册

 数列（公式、定理、结论图表） 一．数列的概念： 1.定义：数列是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集｛1,2，3，…，n｝）的特殊函数，数列的通项公式也就是相应函数的解析式。 2．数列是按一定顺序排列的一列数，记作简记. 3．数列的第项与项数的关系若用一个公式给出，则这个公式叫做这个数列的通项公式。 4．数列的项为当自变量由小到大依次取值时对应的一列函数值，它的图像是一群孤立的点。 5、数列的递推公式：表示任一项与它的前一项（或前几项）间的关系的公式． 6、求数列中最大最小项的方法：最大 最小 考虑数列的单调性 二、等差数列 1、定义：（1）文字表示：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差． （2）符号表示： 2、通项公式：若等差数列的首项是，公差是，则． 通项公式的变形：①；②． 通项公式特点： 是数列成等差数列的充要条件。 3、等差中项 若三个数，，组成等差数列，则称为与的等差中项．若，则称为与的等差中项．即a、b、c成等差数列 4、等差数列的基本性质 （1）。 （2） （3） 5、等差数列的前项和的公式 公式：①；②． 公式特征：，时是一个关于n且没有常数项的二次函数形式 等差数列的前项和的性质： ①若项数为，则，且，． ②若项数为，则，且， （其中，）． ③，，成等差数列． 6、判断或证明一个数列是等差数列的方法： ①定义法：是等差数列 ②中项法：是等差数列 ③通项公式法：是等差数列 ④前项和公式法：是等差数列 三、等比数列 1、定义：（1）文字表示：如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列称为等比数列，这个常数称为等比数列的公比． （2）符号表示： 2、通项公式 （1）、若等比数列的首项是，公比是，则． （2）、通项公式的变形：①；②． 3、等比中项：在与中插入一个数，使，，成等比数列，则称为与的等比中项．若，则称为与的等比中项．注意：与的等比中项可能是。 4、等比数列性质 若是等比数列，且（、、、），则； 若是等比数列，且（、、），则． 5、等比数列的前项和的公式： （1）公式：． （2）公式特点： （3）等比数列的前项和的性质：①若项数为，则． ②．③，，成等比数列（）． 6、等比数列判定方法： ①定义法：为等比数列； ②中项法：为等比数列； ③通项公式法：为等比数列； ④前项和法：为等比数列。 四、等差数列与等比数列性质的比较 等差数列 等比数列 定义 (为常数,) 递推 公式 通项 公式 或 （）或 中项 成等差数列的充要条件： 成等比数列的充要条件： 前 项 和 ①； 重 要 性 质 ① ②等和性：若（、、、）， 则 ③若（、、），则． ④构成等差数列. ① ②等积性：若（、、、）， 则 ③若（、、），则 ④构成的数列是等比数列. 单 调 性： 设d为等差数列的公差，则 d>0是递增数列； d<0是递减数列； d=0是常数数列. 递增数列； 递减数列； q=1是常数数列； q<0是摆动数列 证 明 方 法 证明一个数列为等差数列的方法： 1.定义法　 2.中项法　 3. 通项公式法：（为常数） 4. 前n项和公式法：（A,B为常数） 证明一个数列为等比数列的方法： 1.定义法　 2.中项法　 3. 通项公式法：(A,q为不为0的常数) 4. 前n项和公式法：() 设元 技巧 三数等差： 四数等差： 三数等比： 四数等比： <解题方法与技巧> 1．解决等差、等比数列有关问题的几点注意 1等差数列、等比数列公式和性质的灵活应用； 2对于计算解答题注意基本量及方程思想的运用； 3注重问题的转化，由非等差数列、非等比数列构造出新的等差数列或等比数列，以便利用相关公式和性质解题； 4当题目中出现多个数列时，既要纵向考察单一数列的项与项之间的关系，又要横向考察各数列之间的内在联系. 2．数列求和问题一般转化为等差数列或等比数列的前n项和问题或已知公式的数列求和，不能转化的再根据数列通项公式的特点选择恰当的方法求解.,一般常见的求和方法有： （一）公式法 ①等差数列的前n项和公式：Sn＝＝na1＋d. ②等比数列的前n项和公式： Sn＝ ③数列前项和重要公式： （1） （2） （3） （4） （5）等差数列中，； （6）等比数列中，. 一分组求和法：把一个数列分成几个可以直接求和的数列. 三裂项相消法：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和. 常见的裂项技巧 ①等差型 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8