“四翼”检测评价(十) 等比数列的前n项和的应用及数列求和（Word练习）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学选择性必修第二册（北师大版2019）

“四翼”检测评价(十) 等比数列的前n项和的应用及数列求和 (一)基础落实 1．某森林原有木材量为a m3，按每年以25%的速度增长，5年后，这片森林共有木材量(　 ) A．a(1＋25%)5 m3 B．a(1＋25%)4 m3 C．4am3 D．a(1＋25%)6 m3 解析：选A　森林中原有木材量为a m3，一年后为a(1＋25%) m3，两年后为a(1＋25%)2 m3，…，五年后为a(1＋25%)5 m3. 2．数列{an}的通项公式an＝，则数列{an}的前5项和S5等于(　 ) A. B． C. D． 解析：选C　因为an＝＝1－，所以数列{an}的前5项和S5＝5－＝5－1＋＝. 3．若数列{an}的通项an＝n·2n，则其前n项和Sn为(　 ) A．n·2n＋1 B．n·2n＋1－2 C．(n－1)·2n＋1＋2 D．n·2n＋1＋2 解析：选C　由题可知，Sn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n,2Sn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋n×2n＋1，相减得－Sn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1＝－n·2n＋1＝－2＋(1－n)·2n＋1.∴Sn＝(n－1)·2n＋1＋2. 4．已知函数y＝loga(x－1)＋3(a＞0，a≠1)的图象所过定点的横、纵坐标分别是等差数列{an}的第二项与第三项，若bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn，则T10＝(　 ) A. B． C．1 D． 解析：选B　∵对数函数y＝logax的图象过定点(1,0)， ∴函数y＝loga(x－1)＋3的图象过定点(2,3)，则a2＝2，a3＝3，故an＝n，∴bn＝＝－，∴T10＝1－＋－＋…＋－＝1－＝，故选B. 5．有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个，现在有1个这种细菌和200个这种病毒，则细菌将病毒全部杀死至少需要(　 ) A．6秒钟 B．7秒钟 C．8秒钟 D．9秒钟 解析：选C　根据题意，每秒细菌杀死的病毒数成等比数列，设需要n秒细菌将病毒全部杀死，则1＋2＋22＋23＋…＋2n－1≥200，∴≥200，∴2n≥201，结合n∈N，解得n≥8，即至少需要8秒钟细菌将病毒全部杀死，故选C. 6.如图所示，正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形，…，如此继续下去得到一个树形图形，称为“勾股树”．若某勾股树含有1 023个正方形，且其最大的正方形的边长为，则其最小正方形的边长为________． 解析：由题意，正方形的边长构成以为首项，为公比的等比数列，知共得到1 023个正方形，则有1＋2＋…＋2n－1＝1 023，∴n＝10，∴最小正方形的边长为×9＝. 答案： 7．数列，＋，＋＋，…，＋＋…＋的前n项和为________． 解析：通项公式an＝＋＋…＋＝＝1－，∴前n项和Sn＝＋＋…＋＝n－＝n－1＋. 答案：n－1＋ 8．在等差数列{an}中，a2＝4，a4＋a7＝15. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝2an－2＋n，求b1＋b2＋b3＋…＋b10的值． 解：(1)设等差数列{an}的公差为d. 由已知得 解得所以an＝a1＋(n－1)d＝n＋2. (2)由(1)可得bn＝2n＋n， 所以b1＋b2＋b3＋…＋b10 ＝(2＋1)＋(22＋2)＋(23＋3)＋…＋(210＋10) ＝(2＋22＋23＋…＋210)＋(1＋2＋3＋…＋10) ＝＋＝211－2＋55 ＝211＋53＝2 101. 9．某工厂2022年初有资金1 000万元，资金年平均增长率可达到20%，但每年年底要扣除x(x＜200)万元用于奖励优秀职工，剩余资金投入再生产． (1)以第2022年为第一年，设第n年初有资金an万元，用an和x表示an＋1，并证明数列{an－5x}为等比数列； (2)为实现2032年初资金翻两番的目标，求x的最大值(精确到万元)．(参考数据：1.29≈5.160，1.210≈6.192,1.211≈7.430) 解：(1)依题意，an＋1＝an·(1＋0.2)－x， 整理得an＋1－5x＝(an－5x)， ＝，又a1－5x＝1 000－5x＞0， ∴数列{an－5x}是以1 000－5x为首项，为公比的等比数列． (2)由(1)知，an－5x＝(1 000－5x)·n－1， an＝(1 000－5x)·n－1＋5x. ∴2032年初资金翻两番， 即a11＝(1 000－5x)·10＋5x≥4 000， 解得x≤84.4， ∴x的最大值是84(万元)． (二)综合应用 1．若数列{an}满足aan＋1n＝m(n∈N＋，m为常数)，则称数列{an}为等幂数列，已知数列{an}为等幂数列，且a1＝2，a2＝4，Sn为数列{