1.3.2 第二课时 等比数列的前n项和的应用及数列求和（课件PPT）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学选择性必修第二册（北师大版2019）

第二课时　等比数列的前n项和的应用及数列求和 应用等比数列前n项和公式解决实际问题的步骤 (1)构建数列模型； (2)由题设确定数列为等比数列，并求公比q，或建立数列递推关系，并化归为等比数列，求出公比q； (3)利用等比数列前n项和公式进行计算． 注意：①数列项数的确定，特别是涉及年份的问题，要能正确确认起始年份；②正确判断问题是求数列的第n项，还是求数列的前n项和．　　 [对点训练] 在《庄子·天下》中提到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，蕴含了无限分割、等比数列的思想，体现了古人的智慧．如图，正方形ABCD的边长为4，取正方形ABCD各边的中点E，F，G，H，作第二个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的中点I，J，K，L，作第三个正方形IJKL，依此方法一直继续下去，记第一个正方形ABCD的面积为S1，第二个正方形EFGH的面积为S2，…，第n个正方形的面积为Sn，求前n个正方形的面积之和． 分组法求数列的前n项和的方法技巧 如果一个数列是等差数列与等比数列的代数和，求其前n项和需要先分组再利用公式求和．　　 [对点训练] 1．若数列{an}的通项公式为an＝2n＋2n－1，则数列{an}的前n项和为 (　 ) A．2n＋n2－1 B．2n＋1＋n2－1 C．2n＋1＋n2－2 D．2n＋n－2 裂项相消法的基本思想是设法将数列的每一项拆成两项或若干项，并使它们在相加时除了首尾各有一项或少数几项外，其余各项都能前后正负相消，进而求出数列的前n项和．使用此方法时必须弄清消去了哪些项，保留了哪些项，一般未被消去的项有前后对称的特点．　　 错位相减法求和的注意点 (1)在写“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式． (2)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解．　　 [对点训练] 已知数列{an}中，a1＝2，a2＝3，其前n项和Sn满足Sn＋1＋Sn－1＝2Sn＋1(n≥2，n∈N＋)． (1)求证：数列{an}为等差数列，并求{an}的通项公式； (2)设bn＝3n·an，求数列{bn}的前n项和Tn. 解：(1)证明：由已知，得(Sn＋1－Sn)－(Sn－Sn－1)＝1(n≥2，n∈N＋)，即an＋1－an＝1(n≥2，n∈N＋)，且a2－a1＝1，∴数列{an}是以2为首项，1为公差的等差数列， ∴an＝n＋1. 二、在导向训练中品悟核心价值 发展理性思维 1．设{an}为等比数列，{bn}为等差数列，且b1＝0，cn＝an＋bn，若数列{cn}是1,1,2，…，则数列{cn}的前10项和为 (　 ) A．978 B．557 C．467 D．979 体察数学文化 3．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯 (　 ) A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏 4．中国古代著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问最后一天走了 (　 ) A．6里 B．12里 C．24里 D．96里 ““四翼”检测评价”见““四翼”检测评价(十)” (单击进入电子文档) 34 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题． 2．掌握四种数列求和的方法． 重点 难点 重点：数列的前n项和． 难点：等比数列前n项和的实际应用. ——————————eq \a\vs4\al([题点一])———————————————————— 等比数列前n项和的实际应用 —————————————————————————————————— [典例]　一个皮球从距地为H的地方释放，经地面反弹最后上升至eq \f(H,2)处，之后每次反弹后上升的最高高度为上一次反弹的一半，若该皮球从开始释放至第五次接触地面瞬间，在空中的运动轨迹长为10米，求H的值． [解]　根据题意，皮球第n次接触地面至第n＋1次接触地面的运动轨迹长度满足一个以首项a1＝H，公比q＝eq \f(1,2)的等比数列{an}， 故皮球从开始释放至第五次接触地面，在空中的运动轨迹长度为： a1＋a2＋a3＋a4＋H＝eq \f(a11－q4,1－q)＋H＝eq \f(23,8)H， 由题可知，eq \f(23,8)H＝