第六章 2 平行四边形的判定-【能力培养与提升】2022-2023学年八年级下册初二数学（北师大版）

平行四边形 第六章 11. （ 2021 ·宿迁） 在 ①AE＝CF ， ②OE＝OF ， ③BE∥DF 这三个条件中任选一个补充在下 面横线上， 并完成证明过程 ． 如图， 四边形 ABCD 是平行四边形， 对角线 AC ， BD 相交于点 O ， 点 E ， F 在 AC 上， （填写序号） ． 求证： BE＝DF． 自主导学 典例精析 例题 如图， 四边形 ABCD 是平行四边形， E ， F 是对角线 BD 上的点， ∠AEF=∠CFE． 求证： （ 1 ） BE=DF ； （ 2 ） AF∥CE． 【分析】 （ 1 ） 利用平行四边形的性质得出 ∠BDC=∠ABD ， 由 ∠AEF=∠CFE 得 ∠AEB= ∠CFD ， 进而利用全等三角形的判定得出即可； （ 2 ） 利用 ∠AEF=∠CFE 和 （ 1 ） 的结论易证 四边形 AECF 是平行四边形， 进而证得 AF∥CE. 【证明】 （ 1 ） ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB=CD ， AB∥CD ， ∴∠BDC=∠ABD. ∵∠AEF=∠CFE ， ∴∠AEB=∠CFD. 在 △ABE 和 △CDF 中， ∠AEB=∠CFD ， ∠ABE=∠CDF ， AB=CD D & & & & & % & & & & & ' ， ∴△ABE≌△CDF （ AAS ） . ∴BE=DF. （ 2 ） 由 （ 1 ） 得 △ABE≌△CDF ， ∴AE=CF. ∵∠AEF=∠CFE ， ∴AE∥CF ， ∴ 四边形 AECF 是平行四边形， ∴AF∥CE． 【点拨】 此题主要考查了平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质， 得出 △ABE≌△CDF 是解题关键 ． 基础巩固 达标闯关 1. 下列给出的条件中， 能判断四边形 ABCD 是平行四边形的是 （ ） A. AB∥CD ， AD=BC B. ∠B=∠C ， ∠A=∠D C. AB=AD ， CB=CD D. AB=CD ， AD=BC 2 平行四边形的判定 （第 1课时） A B C D E F 例题图 第 11 题图 O D F A B C E 133 八年级下册 （北师大版）数学 2. 下列条件中， 不能判定四边形是平行四边形的是 （ ） A. 两组对边分别平行 B. 两组对角分别相等 C. 两组邻边分别相等 D. 两组对边分别相等 3. 如图， 在 荀ABCD 中， AM= 2 3 AB ， CN= 2 3 CD. 求证： 四边形 AMCN 是平行四边形 . 4. 如图 ， 在四边形 ABCD 中 ， AD∥BC ， 过点 A 作 AE∥DC 交 BC 于点 E ， BD 平分 ∠ABC. 求证： AB=EC. 5. 如图， 在 荀ABCD 中， E ， F 分别是 AB ， DC 的中点， AG=CH. 求证： 四边形 EHFG 是 平行四边形 . 能力提升 综合拓展 6. 如图， M ， N 分别为 荀ABCD 中一组对边 AD ， BC 的中点， BM 与 AN 交于点 G ， CM 与 DN 交于点 H. 求证： 四边形 MGNH 是平行四边形 . M N A B D C 第 3 题图 A B D E C 第 4 题图 H G A B D F E C 第 5 题图 M N H G A B D C 第 6 题图 134 平行四边形 第六章 7. 如图， D ， E ， F 分别为 △ABC 各边上的点， 且 DE∥AF ， DE=AF ， 延长 FD 至点 G ， 使 DG=DF. 求证： ED 与 AG 互相平分 . 8. 如图， △ABD ， △EBC ， △ACF 都是等边三角形 . 求证： DE∥AF. * 9. 如图， 在 荀ABCD 中， ∠DAB=60° ， 点 E ， F 分别在 CD ， AB 的延长线上， 且 AE= AD ， CF=CB. （ 1 ） 求证： 四边形 AFCE 是平行四边形 . （ 2 ） 若去掉已知条件 ∠DAB=60° ， 其他条件不变， （ 1 ） 中的结论还成立吗？ 请说明理由 . * 10. 如图， 以 BC 为底边的等腰 △ABC ， 点 D ， E ， G 分别在 BC ， AB ， AC 上， 且 EG∥ BC ， DE∥AC ， 延长 GE 至点 F ， 使得 BE=BF． （ 1 ） 求证： 四边形 BDEF 为平行四边形； （ 2 ） 当 ∠C=45° ， BD=2 时， 求 D ， F 两点间的距离 ． O G A B D F E C 第 7 题图 第 8 题图 A B D F E C O A B D F E C 第 9 题图 第 10 题图 G F D C A B E 135 八年级下册 （北师大版）数学 中考链接 真