第一章 4 角平分线-【能力培养与提升】2022-2023学年八年级下册初二数学（北师大版）

三角形的证明 第一章 9. （ 2021 ·通辽） 如图， 在 Rt△ABC 中， ∠ACB=90° ， 根据尺规作图 的痕迹， 判断以下结论错误的是 （ ） A． ∠BDE=∠BAC B．∠BAD=∠B C． DE=DC D． AE=AC 10． （ 2019 ·玉林） 如图， 已知等腰 △ABC 的顶角 ∠A=36°． （ 1 ） 在 AC 上作一点 D ， 使 AD=BD ； （要求： 尺规作图， 保留作图痕迹， 不必写作法和 证明） （ 2 ） 求证： △BCD 是等腰三角形 ． 自主导学 典例精析 例题 如图， BD 为 ∠ABC 的平分线， AB=BC ， 点 P 在 BD 上， PM⊥AD 于点 M ， PN⊥ CD 于点 N． 求证： PM=PN． 【分析】 根据角平分线的定义可得 ∠ABD=∠CBD ， 然后利用 “ SAS ” 证明 △ABD 和 △CBD 全等， 进而得 ∠ADB=∠CDB ， 然后根据角平分线上的点到角两边的距离相等即可证明 ． 【证明】 ∵BD 为 ∠ABC 的平分线， ∴∠ABD=∠CBD． ∵AB=CB ， BD=BD, ∴△ABD≌△CBD （ SAS ） ． ∴∠ADB=∠CDB． ∵ 点 P 在 BD 上， PM⊥AD ， PN⊥CD ， ∴PM=PN． 【点拨】 本题考查了角平分线的性质定理、 全等三角形的判定与性质 . 通过三角形全等得 到 ∠ADB=∠CDB 是解题的关键 ． 此外， 还要注意应用角平分线的性质定理时， 一定满足两 个条件， 即点在角平分线上和过该点的两个垂线段， 缺一不可 ． 第 10 题图 A B C 36° 第 9 题图 D A B C E 4 角平分线 （第 1课时） 例题图 A B C D M P N 29 八年级下册 （北师大版）数学 基础巩固 达标闯关 1. 如图， AO ， BO ， CO 分别平分 ∠BAC ， ∠ABC ， ∠ACB ， OD⊥BC ， △ABC 的周长为 12 ， OD=2 ， 则 △ABC 的面积为 . 2. 如图， 一块直角三角形纸片， 两个直角边 AC=6 cm ， BC=8 cm ， 现将 △ABC 沿直线 AD 折叠， 使 AC 落在斜边 AB 边上， 且与 AE 重合， 则 CD= cm. 3. 如图， 在 △ABC 中， ∠C=80° ， ∠BAC 的平分线和 ∠ABC 的平分线相交于点 O ， 则 ∠OAC+∠OBC= . 4. 如图， 在 △ABC 中， ∠ABC ， ∠ACB 的平分线的夹角为 α ， ∠ABC ， ∠ACB 外角的平 分线的夹角为 β ， 则 α 与 β 的关系是 . 5. 如图， 在 △ABC 中， ∠C=90° ， AD 为 ∠CAB 的平分线， E 为 AB 上一点， AE=AC ， 连接 DE ， 则下列结论中错误的是 （ ） A. DE=CD B. ∠ADE=∠ADC C. ∠BDE=∠ADC D. ∠AED=90° 6. 如图， 点 C 是 ∠AOB 平分线上一点， 点 D ， E 分别在 OA ， OB 上， 再添加下列其中一个条件不能得到 OD=OE 的是 （ ） A. ∠OCD=∠OCE B. ∠ODC=∠OEC C. DC=EC D. DE⊥OC ７. 如图， 已知直线 AB ， AC ， BC 表示相互交叉的公路， 现要建一个货 物中转站， 使它到三条公路的距离相等， 则可供选择的地址有 （ ） A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 8. 如图， 在 △ABC 中， AD 是 ∠BAC 的平分线， DE ， DF 分别是 △ABD 和 △ACD 的高 . 求证： AD 垂直平分 EF. A B D E C O A B C α β A B D C E 第 2 题图第 1 题图 第 3 题图 第 4 题图 A B D E C O A B D E C 第 5 题图 第 6 题图 B C D O A 第 7 题图 A B C A B D F E C 第 8 题图 30 三角形的证明 第一章 能力提升 综合拓展 9. 如图， 在 △ABC 中， AB=AC ， D 是 BC 的中点， DE⊥AB 于点 E ， DF⊥AC 于点 F. 求 证： ∠DEF=∠DFE. 10. 如图， AB=CD ， △PAB 的面积与 △PCD 的面积相等 . 求证： OP 平分 ∠AOD. 11. 如图， 在 △ABC 中， ∠C=90° ， D 是 AB 的中点， 过点 D 作 AB 的垂线交 BC 于点 E ， 且 ED=EC. 求证： ∠BAC=2∠B. * 12. 已知 ∠MAN ， AC 平分 ∠MAN. （ 1 ） 在图 1 中， 若 ∠MAN=120°