第一章 3 线段的垂直平分线-【能力培养与提升】2022-2023学年八年级下册初二数学（北师大版）

八年级下册 （北师大版）数学 自主导学 典例精析 例题 如图， 在 △ABC 中， AB=AC ， ∠A=120° ， BC=6 cm ， AB 的垂直平分线交 BC 于 点 M ， 交 AB 于点 E ， AC 的垂直平分线交 BC 于点 N ， 交 AC 于点 F ， 求 MN 的长 . 【分析】 首先连接 AM ， AN ， 由 AB 的垂直平分线交 BC 于点 M ， 交 AB 于点 E ， AC 的垂 直平分线交 BC 于点 N ， 交 AC 于点 F ， 可得 AM=BM ， AN=CN. 在 △ABC 中 ， AB=AC ， ∠BAC=120° ， 易证得 △AMN 是等边三角形， 进而可得 BM=MN=CN ， 即可求解 ． 【解答】 如图， 连接 AM ， AN ， ∵EM 是 AB 的垂直平分线， NF 是 AC 的垂直平分线， ∴AM=BM ， AN=CN ， ∴∠BAM=∠B ， ∠CAN=∠C. ∵AB=AC ， ∠BAC=120° ， ∴∠B=∠C=30°. ∴∠AMN=∠ANM=60° ， ∴△AMN 是等边三角形 . ∴AM=MN=AN ， ∴BM=MN=CN. ∵BC=6 cm ， ∴MN=2 cm． 【点拨】 此题考查了线段垂直平分线的性质、 等边三角形的判定与 性质以及等腰三角形的性质 ． 解这类垂直平分线问题时， 基本解题策略是利用垂直平分线的 性质构造等腰三角形， 转化为等腰三角形来解决问题 ． 连接 AM 和 AN 构造等腰 △ABM 和 △CAN 是解决本题的关键 . 基础巩固 达标闯关 1. 如图， 在 △ABC 中， AB=10 cm ， BC 的垂直平分线 DE 交 AB 于点 D ， 若 AD=DB ， 则 CD= . 2. 如图， 在 △ABC 中， AC 的垂直平分线交 BC 于点 D ， 垂足为点 E ， △ABD 的周长为 12 cm ， AC=5 cm ， 则 △ABC 的周长为 . 3. 如图， 在 △ABC 中， ∠C=90° ， AB 的垂直平分线交 BC 于点 D ， 垂足为点 E ， ∠CAD= 2∠B ， 则 ∠B= . 4. 在 △ABC 中， AB=AC ， AB 的垂直平分线 DE 分别交直线 AB ， BC 于点 D ， E ， 若 DE 与另一腰 AC 的夹角为 40° ， 则 ∠BAC 的度数为 . A B E F C N M A B E F C N M D 例题答图 例题图 A B D E C A B D E C A B D E C 第 2 题图第 1 题图 第 3 题图 3 线段的垂直平分线 （第 1课时） 24 三角形的证明 第一章 5. 如图， 已知点 O 是 △ABC 的两边 AB 和 AC 的垂直平分线 OD ， OE 的 交点， 且 ∠A=50° ， 则 ∠BOC 的度数为 （ ） A. 100° B. 110° C. 120° D. 125° 6. 在 △ABC 中， AB=AC ， 边 AB 的垂直平分线交 AC 于点 D ， △ABC 和 △DBC 的周长分 别为 60 cm 和 38 cm ， 则 △ABC 的腰和底边长分别为 （ ） A. 24 cm 和 12 cm B. 16 cm 和 22 cm C. 20 cm 和 16 cm D. 22 cm 和 16 cm 7. 如图， 在 △ABC 中， AD 是 ∠BAC 的平分线， FE 垂直平分 AD ， 交 AD 于点 E ， 交 BC 的延长线于点 F ， 连接 AF. 求证： ∠B=∠CAF. 8. 如图， 在 Rt△ABC 中， ∠ACB=90° ， D 为 AB 上一点， BD=BC ， 过点 D 作 AB 的垂 线， 交 AC 于点 E ， CD 交 BE 于点 F. 求证： BE 垂直平分 CD. 能力提升 综合拓展 9. 如图， 在 △ABC 中， ∠B=45° ， ∠C=30° ， AB 的垂直平分线分别交 BC ， AB 于点 D ， E ， AC 的垂直平分线分别交 BC ， AC 于点 F ， G ， 连接 AD ， AF. 求证： AF=2DF. 10. 如图， AB⊥BC ， CD⊥BC ， ∠AMB=75° ， ∠DMC=45° ， AM=MD. 求证： AB=BC. M A B D C 第 10 题图 A B D F E C 第 7 题图 第 8 题图 A B D F E C 第 9 题图 G A B D F E C 第 5 题图 O A B D E C 25 八年级下册 （北师大版）数学 11. 如图， 在 △ABC 中， AB=AC ， AD 为 BC 边上的中线， E 是 BC 边上的一点， 过点 E 作 EM∥AD ， 交