第一章 2 直角三角形-【能力培养与提升】2022-2023学年八年级下册初二数学（北师大版）

三角形的证明 第一章 14. （ 2022 ·黑龙江） △ABC 和 △ADE 都是等边三角形 ． （ 1 ） 将 △ADE 绕点 A 旋转到图 1 的位置时， 连接 BD ， CE 并延长相交于点 P （点 P 与点 A 重合）， 有 PA+PB=PC （或 PA+PC=PB ） 成立 （不需证明）； （ 2 ） 将 △ADE 绕点 A 旋转到图 2 的位置时， 连接 BD ， CE 相交于点 P ， 连接 PA ， 猜想 线段 PA ， PB ， PC 之间有怎样的数量关系， 并加以证明； （ 3 ） 将 △ADE 绕点 A 旋转到图 3 的位置时， 连接 BD ， CE 相交于点 P ， 连接 PA ， 猜想 线段 PA ， PB ， PC 之间有怎样的数量关系， 直接写出结论， 不需要证明 ． 自主导学 典例精析 例题 如图， 在四边形 ABCD 中， AB=20 ， BC=15 ， CD=7 ， AD=24 ， ∠B=90° ， 求证： ∠A+∠C=180°． 【分析】 若证 ∠A+∠C=180° ， 只需证 ∠D+∠B=180° ， 即证 ∠D=90° ， 为此， 连接 AC． 首 先根据勾股定理求得 AC 的长， 再根据勾股定理的逆定理证出 ∠D=90° ， 进而证出 ∠A+∠C= 180°． 【证明】 如图， 连接 AC． ∵AB=20 ， BC=15 ， ∠B=90° ， ∴ 由勾股定理， 得 AC 2 =20 2 +15 2 =625． 又 ∵CD=7 ， AD=24 ， ∴CD 2 +AD 2 =625． ∴AC 2 =CD 2 +AD 2 ． ∴∠D=90°． ∵∠DAC+∠D+∠DCA+∠ACB+∠B+∠BAC=360° ， ∴∠DAB+∠DCB+∠D+∠B=360° ， ∴∠DAB+∠DCB=360°-∠D-∠B=180°. 【点拨】 此题主要考查了勾股定理的应用以及三角形内角和定理， 综合运用勾股定理及 其逆定理是解决问题的关键 ． 在做题过程中， 若涉及三角形两边长或三边长， 要构造特殊三 角形， 以达到解决问题的目的 ． 例题答图例题图 A B C D A B C D A B C D E （ P ） A B C D E P A B C D E P 第 14 题图 图 2 图 3 图 1 2 直角三角形 （第 1课时） 17 八年级下册 （北师大版）数学 基础巩固 达标闯关 1. 如图， 在 △ABC 中， ∠B=60° ， AB=10 ， AC=14 ， AD⊥BC ， 则 BC= . 2. 如图是由一系列直角三角形组成的螺旋形， 则第 n 个直角三角形的面积为 . 3. 将直角三角形三边扩大相同的倍数后， 得到的三角形是 （ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不能确定 4. 在 △ABC 中， ∠A ， ∠B ， ∠C 的对边分别为 a ， b ， c ， 则下列命题中为假命题的是 （ ） A. 如果 ∠C= ∠A+∠B ， 则 △ABC 是直角三角形 B. 如果 b 2 = （ c+a ）（ c－a ）， 则 △ABC 是直角三角形 C. 如果 a 2 －b 2 =c 2 ， 则 △ABC 是直角三角形， 且 ∠C=90° D. 若 ∠A∶∠B ∶∠C=5 ∶ 2 ∶ 3 ， 则 △ABC 是直角三角形 5. 如果等腰三角形的一腰上的高与底边夹角为 60° ， 腰长为 a ， 则底边上的高为 （ ） A. 1 2 a B. 3 姨 2 a C. 2 姨 2 a D. 1 2 a 或 3 姨 2 a 6. 写出下列命题的逆命题， 并判断每个命题的真假 . （ 1 ） 如果 x 2 ＞0 ， 那么 x＞0 ； （ 2 ） 直角三角形中有一个内角等于 90° ； （ 3 ） 等腰三角形是轴对称图形； （ 4 ） 全等的两个三角形的面积相等 . 7. 如图， 在四边形 ABCD 中， ∠B=90° ， AB=8 ， BC=6 ， CD=24 ， AD=26. 求证： △ACD 是直角三角形 . A B D C O A 1 A 0 A 2 A 3 A 4 1 1 1 1 1 … 第 2 题图第 1 题图 A B C D 第 7 题图 18 三角形的证明 第一章 能力提升 综合拓展 8. 如图， 在 Rt△ABC 中， ∠ACB=90° ， 分别以 AB ， BC ， AC 为斜边向外作等腰直角三 角形， 设所作的 △ABD ， △BCE ， △ACF 的面积分别为 S 1 ， S 2 ， S 3 ， 求证： S 1 =S 2 +S 3 . 9. 如图， 在 △ABC 中， AB=AC ， AD 是高， AM 是 △ABC 外角 ∠CAE 的平分线 ． （ 1 ） 用尺