第一章 1 等腰三角形-【能力培养与提升】2022-2023学年八年级下册初二数学（北师大版）

三角形的证明 第一章 知识网络 第一章 三角形的证明 三角形 三 角 形 的 证 明 有两条边相等的三角形 有两个角相等的三角形 三角形全等 公理 1 （SSS） 公理 2 （SAS） 公理 3 （ASA） →定理 （AAS） 判定 HL （斜边和直角边对应相等） 性质： 全等三角形的对应边相等、 对应角相等 等腰三角形 底边 和腰 相等 两腰相等 性质 判定 两底角相等 推论 等腰三角形顶角的 平分线、 底边上的 中线及底边上的高 线互相重合 等边三角形 三条边都相等的三角形 三个角都相等的三角形 判定 三条边都相等 三个内角都相等， 并且每个角都等于 60° 性质 有一个角等于 60°的等腰三角形 两个锐角互余 两条直角边的平方和等于 斜边的平方 性质 有两个角互余的三角形 三角形两边的平方和等于 第三边的平方 判定 直角三角形 在直角三 角形中， 如果一个 锐角等于 30° ， 那 么它所对 的直角边 等于斜边 的一半 1 八年级下册 （北师大版）数学 1 等腰三角形 （第 1课时） 判定： 在一个角的内部到这个角的两边距离相等的点 在这个角的平分线上 角平分线 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 三角形的三条角平分线相交于一点， 并 且这一点到三条边的距离相等 性质 推理方法与逆定理 一种推理方法→反证法 互逆命题 定理逆命题是真命题 互逆定理 尺规作图 作等腰三角形 过一点作直线的垂线 （点在直线上和直线外） 特殊线 线段垂直平分线上的点到这条线段两个 端点的距离相等 三角形三条边的垂直平分线相交于一 点， 并且这一点到三个顶点的距离相等 性质 判定： 到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段 的垂直平分线上 线段的垂 直平分线 自主导学 典例精析 例题 如图， 在 △ABC 中， AB=AC ， BD=CD ， DE⊥AB ， DF⊥AC ， 垂足分别为点 E ， F． 求证： △BED≌△CFD． 【分析】 首先根据 AB=AC ， 可得 ∠B=∠C ， 再由 DE⊥AB ， DF⊥AC ， 可得 ∠BED=∠CFD=90° ， 然后利用 AAS 定理即可判定 △BED≌△CFD． 【解答 】 ∵DE⊥AB ， DF⊥AC ， ∴∠BED=∠CFD=90° ． ∵AB=AC ， ∴ ∠B=∠C． 又 ∵BD=CD ， ∴△BED≌△CFD （ AAS ） ． 【点拨】 利用三角形全等解决问题的关键是根据题目中的条件， 结合图形， 灵活选用三 角形全等的判定方法 . 本题考查三角形全等的判定方法， 判定两个三角形全等的一般方法有 SSS ， SAS ， ASA ， AAS． 注意： AAA ， SSA 不能判定两个三角形全等， 判定两个三角形全等时， 必须有边的参 与， 若有两边一角对应相等时， 角必须是两边的夹角 ． 例题图 A E F B D C 2 三角形的证明 第一章 基础巩固 达标闯关 1. 如图， 在 △ABC 中， ∠B=35° ， ∠C=25° ， 在 BC 边上取点 D ， E ， 使 AD=BD ， AE=EC ， 则 ∠DAE= . 2. 如图， 已知 ∠A=∠D ， 若使 △ABC≌△DCB ， 你认为应该添加的条 件是 . （要求只添加一个条件， 不添加辅助线和字母） 3. 如图， 已知 △ABC≌△EBF ， AB⊥CE 于点 B ， ED⊥AC 于点 D ， 若 AB=5 cm ， BC=3 cm ， 则 CE= ， ∠C+∠DFB= . 4. 如图， 已知 AB=AC ， AE=AD ， 那么图中全等三角形共有 （ ） A. 1 对 B. 2 对 C. 3 对 D. 4 对 5. 如图， 在 △ABC 中， AC=AD=BD ， ∠DAC=80° ， 则 ∠B 的度数是 （ ） A. 40° B. 35° C. 25° D. 20° 6. 如图， 在 △ABC 中， D ， E 两点分别在 AC ， BC 上， 且 AB=AC ， CD=DE. 若 ∠A=40° ， ∠ABD ∶ ∠DBC=3 ∶ 4 ， 则 ∠BDE= （ ） A. 25° B. 30° C. 35° D. 40° 7. 在 △ABC 中， AB=AC ， AD⊥BC 于点 D ， △ABC 的周长为 36 cm ， △ADC 的周长为 30 cm ， 那么 AD 等于 （ ） A. 6 cm B. 8 cm C. 12 cm D. 20 cm 8. 下列命题不正确的是 （ ） A. 等腰三角形两个内角相等 B. 等腰三角形两腰上的高相等 C. 等腰三角形两个底角相等 D. 等腰三角形底边上的中线、 底边上的高、 顶角平分线重合 9. 如图， 已知 D 是 △ABC 的边 AB 上一点， CF∥AB ， DF