5.3.2利用导数研究极值、最值专题练习-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

高二.同步复习讲义 利用导数研究函数极值与最值 例1．已知函数f（x）=ax3+3x2﹣2，若方程f（x）=0只有一个根且这个根为负根，则实数a的取值范围是（　　） A．（﹣∞，﹣） B．（﹣∞，﹣1） C．（1，+∞） D．（，+∞） 例2．已知函数（其中e为自然对数底数）在x=1取得极大值，则a的取值范围是（　　） A．a＜0 B．a≥0 C．﹣e≤a＜0 D．a＜﹣e 例3．已知函数在x=1处取得极大值，则实数a的取值范围是（　　） A． B．（﹣∞，1） C． D．（1，+∞） 　 例4．若函数f（x）=x3﹣3ax+a有三个不同的零点，则实数a的取值范围是　 　． 例5．若函数f（x）=x2+alnx在区间（1，+∞）上存在极小值，则实数a的取值范围为　 　． 例6．已知函数f（x）=lnx+ax2+（2﹣2a）x+（a＞0），若存在三个不相等的正实数x1，x2，x3，使得=3成立，则a的取值范围是　 　． 　 例7．设函数f（x）=lnx+m（x2﹣x），m∈R （1）当m=﹣1时，求函数f（x）的最值； （2）若函数f（x）有极值点，求m的取值范围． 例8．设函数f（x）=lnx﹣x+1． （1）求函数f（x）的极值； （2）证明：lnx≤x﹣1． 例9．已知函数f（x）=xex﹣1﹣mx2﹣mx，m∈R． （1）当m=0时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程； （2）讨论函数f（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值． 例10．已知函数． （1）若f（1）=0，求函数f（x）的单调递减区间； （2）若关于x的不等式f（x）≤ax﹣1恒成立，求整数a的最小值． 例11．已知．a∈R （1）若a=2，求f（x）的单调区间； （2）当时，若f（x）≥﹣ln2在x∈[2，e]上恒成立，求a的取值范围． 例12．已知函数f（x）=． （Ⅰ）求函数f（x）图象在x=处的切线方程； （Ⅱ）求函数y=f（x）的单调区间； （Ⅲ）设a＞0，求F（x）=af（x）在x∈[a，2a]上的最小值及最大值． 例13．已知函数f（x）=ln（ax+1）﹣，a∈R． （1）若f（x）在x=1时取到极值，求a的值及f（x）的图象在x=1处的切线方程； （2）若f（x）≥ln2在x≥0时恒成立，求a的取值范围． 例14．已知函数f（x）=xlnx+mx2． （Ⅰ）当m=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程； （Ⅱ）若∀x∈（0，+∞），都有f（x）＜0成立，求m的取值范围； （Ⅲ）当m＜0时，设g（x）=，求g（x）在区间[1，2]上的最大值． 　 参考答案与试题解析 例1．已知函数f（x）=ax3+3x2﹣2，若方程f（x）=0只有一个根且这个根为负根，则实数a的取值范围是（　　） A．（﹣∞，﹣） B．（﹣∞，﹣1） C．（1，+∞） D．（，+∞） 解：f（x）=ax3+3x2﹣2， ∴f'（x）=3ax2+6x =3x（ax+6）， ∵方程f（x）=0只有一个根且这个根为负根， ∴x=﹣＜0，且f（﹣）＜0， ∴a＜﹣， 故选A． 　 例2．已知函数（其中e为自然对数底数）在x=1取得极大值，则a的取值范围是（　　） A．a＜0 B．a≥0 C．﹣e≤a＜0 D．a＜﹣e 解：由，得 f′（x）=e2x+（a﹣e）ex﹣ae=（ex+a）（ex﹣e）． 当a≥0时，ex+a＞0，由f′（x）＞0，得x＞1，由f′（x）＜0，得x＜1． ∴f（x）在（﹣∞，1）上为减函数，在（1，+∞）上为增函数， 则f（x）在x=1取得极小值，不符合； 当a＜0时，令f′（x）=0，得x=1或ln（﹣a）， 为使f（x）在x=1取得极大值，则有ln（﹣a）＞1，∴a＜﹣e． ∴a的取值范围是a＜﹣e． 故选：D． 　 例3．已知函数在x=1处取得极大值，则实数a的取值范围是（　　） A． B．（﹣∞，1） C． D．（1，+∞） 解：f（x）的定义域是（0，+∞）， f′（x）=lnx+1﹣ax+a﹣1=lnx﹣ax+a， 若f（x）在x=1处取极大值， 则f（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减， 则lnx﹣ax+a＜0在（1，+∞）恒成立， 故a＞在（1，+∞）恒成立， 令h（x）=，（x＞1）， 则h′（x）=＜0， 故h（x）在（1，+∞）递减， 由==1， 故a＞1， 故选：D． 　 例4．若函数f（x）=x3﹣3ax+a有三个不同的零点，则实数a的取值范围是　（，+∞）