7.1.2 全概率公式（课件PPT）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学选择性必修第三册（人教A版2019）

7．1.2　全概率公式 1．某一事件A的发生可能有各种原因，如果A是由原因Bi (i＝1,2，…，n) 所引起，则A发生的概率是P(ABi)＝P(Bi)P(A|Bi)，每一个原因都可能导致A发生，故A发生的概率是各原因引起A发生概率的总和，即全概率公式. 由此可以形象地把全概率公式看成为“由原因推结果”，每个原因对结果的发生有一定的“作用”，即结果发生的可能性与各种原因的“作用”大小有关．因此我们可视公式的直观作用是“由因求果”． 2．运用公式的关键是寻找其中的完备事件组A1，A2，…，An，满足： (1)任意两个事件均互斥，即AiAj＝∅，i，j＝1，2，…，n，i≠j； (2)A1＋A2＋…＋An＝Ω； (3)P(Ai)＞0，i＝1,2，…，n. 对Ω中的任意事件B，都有B＝BA1＋BA2＋…＋BAn.该完备事件组是为了计算P(B)而人为引入的，选择适当的完备事件组可以使计算大为简化；选择不适当，则不利于问题的解决． 1．甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，其产量分别占总量的25%,35%,40%，次品率分别为5%,4%,2%.从这批产品中任取一件，则它是次品的概率为(　 ) A．0.012 3 B．0.023 4 C．0.034 5 D．0.045 6 解析：本题为简单的全概率公式的应用，从这批产品中任取一件，则它是次品的概率为0.25×0.05＋0.35×0.04＋0.4×0.02＝0.034 5. 答案：C　 2．设袋中共有10个球，其中2个红球，其余为白球，两人分别从袋中任取一球，则第二人取得红球的概率为________．(第一人取出的球不放回) (1)全概率公式用于求结果概率，即全概率公式是“由因索果”，贝叶斯公式是“由果索因”． (2)利用贝叶斯公式求概率时，通常先利用全概率公式计算出复杂事件B的概率P(B)． [典例]　设在n张彩票中有一张奖券，求第二个人摸到奖券的概率是多少？ 全概率公式的使用要点 (1)如果所考虑问题的试验分两步，第一步试验结果可确定为样本空间的一个划分，求与第二步试验结果有关的事件的概率，此时可用全概率公式解决． (2)用全概率公式的关键是确定样本空间的一个划分，这可以从第一步试验的结果确定．　　 [对点训练] 1．某考生回答一道四选一的考题，假设他知道正确答案的概率为0.5，知道正确答案时，答对的概率为100%，而不知道正确答案时猜对的概率为0.25，那么他答对题目的概率为 (　 ) A．0.625 B．0.75 C．0.5 D．0 2．甲箱的产品中有5个正品和3个次品，乙箱的产品中有4个正品和3个次品． (1)从甲箱中任取2个产品，求这2个产品都是次品的概率； (2)若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品，求取出的这个产品是正品的概率． [典例]　10张奖券中3张有奖，甲、乙两人不放回地各从中抽1张，甲先抽，乙后抽．求： (1)甲中奖的概率； (2)乙中奖的概率； (3)在乙中奖的情况下，甲未中奖的概率． 在实际问题中，对于“已知结果求原因”类题目，它所求的是条件概率，即在已知某结果发生的条件下，探求各种原因发生的可能性的大小，所以应先利用全概率公式，计算出结果的概率，然后再利用条件概率公式求解．　　 [对点训练] 玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各箱含0,1,2只残次品的概率分别为0.8,0.1,0.1，一顾客欲购一箱玻璃杯，售货员随意取一箱，顾客开箱随意地查看四只，若无残次品，则买下该箱，否则退回．试求： (1)顾客买下该箱玻璃杯的概率α； (2)在顾客买下的一箱中，求无残次品的概率β. [典例]　设某批产品中，编号为1,2,3的三个厂生产的产品分别占45%、35%、20%，各厂产品的次品率分别为2%、3%、5%.现从中任取一件，(1)求取到的是次品的概率；(2)经检验发现取到的为次品，问该次品来自哪个厂的可能性最大． [解]　A表示“取到的是一件次品”，Bi表示“取到的产品是由第i家工厂生产的”(i＝1,2,3)，显然B1，B2，B3是样本空间S的一个划分，且有P(B1)＝0.45，P(B2)＝0.35，P(B3)＝0.2，P(A|B1)＝0.02，P(A|B2)＝0.03，P(A|B3)＝0.05. (1)由全概率公式得，P(A)＝P(A|B1)P(B1)＋P(A|B2)P(B2)＋P(A|B3)P(B3)＝0.02×0.45＋0.03×0.35＋0.05×0.2＝0.029 5. [对点训练] 一项血液化验用来鉴别是否患有某种疾病．在患有此种疾病的人群中，通过化验有95%的人呈阳性，而健康的人通过化验也会有1%的人呈阳性．某地区此种病的患者仅占人口的0.5%.若某人化验结果为阳性，问此人患有此病的概率是多大？ 发展理性思维 1．某地成年人体重