7.3.2 离散型随机变量的方差（课件PPT）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学选择性必修第三册（人教A版2019）

7．3.2　离散型随机变量的方差 2．方差与标准差的意义 (1)离散型随机变量的方差和标准差反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度． (2)离散型随机变量的方差越小，随机变量越稳定． (3)方差与期望之间的关系： D(X)＝E(X2)－[E(X)]2. 3．离散型随机变量方差的性质 (1)设a，b为常数，则D(aX＋b)＝ ； (2)D(c)＝0(其中c为常数)． 4．服从两点分布的随机变量的方差 若X服从两点分布，则D(X)＝ (其中p为成功概率)． a2D(X) p(1－p) 1．判断正误 (1)离散型随机变量的方差越大， 随机变量越稳定． (　 ) (2)若a是常数，则D(a)＝0. (　 ) (3)离散型随机变量的方差反映了随机变量偏离于期望的平均程度．(　 ) 答案：(1)×　(2)√　(3)√ 2．若随机变量X服从两点分布， 且成功的概率p＝0.5, 则E(X)和D(X)分别为(　 ) A．0.5和0.25 B．0.5和0.75 C．1和0.25 D．1和0.75 答案：A 3．D(X－D(X))的值为 (　 ) A．无法求 B．0 C．D(X) D．2D(X) 答案：C 4．牧场的10头牛，因误食疯牛病毒污染的饲料被感染，已知该病的发病率为0.02，设发病牛的头数为X，则D(X)等于________． 答案：0.196 求随机变量函数Y＝aX＋b方差的方法 求随机变量函数Y＝aX＋b的方差，一种是先求Y的分布列，再求其均值，最后求方差；另一种是应用公式D(aX＋b)＝a2D(X)求解．　　 求离散型随机变量X的方差的步骤 (1)理解X的意义，写出X可能取的全部值； (2)求X取各个值的概率，写出分布列； (3)根据分布列，由期望的定义求出E(X)； (4)根据公式计算方差．　　 2．某网约车司机统计了自己一天中出车一次的总路程X(单位：km)的可能取值是20,22,24,26,28,30，它们出现的概率依次是0.1,0.2,0.3,0.1，t,2t.求X的分布列，并求X的均值和方差． 解：由题意，得0.1＋0.2＋0.3＋0.1＋t＋2t＝1. ∴t＝0.1. ∴X的分布列为 ∴E(X)＝20×0.1＋22×0.2＋24×0.3＋26×0.1＋28×0.1＋30×0.2＝25，D(X)＝(20－25)2＋0.1＋(22－25)2×0.2＋(24－25)2×0.3＋(26－25)2×0.1＋(28－25)2×0.1＋(30－25)2＋0.2＝(－5)2×0.1＋(－3)2×0.2＋(－1)2×0.3＋12×0.1＋32×0.1＋52×0.2＝10.6. X 20 22 24 26 28 30 P 0.1 0.2 0.3 0.1 0.1 0.2 [典例]　A，B两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出现次品ξ1，ξ2的概率分别如下表： A机床 B机床 ξ1 0 1 2 3 P 0.7 0.2 0.06 0.04 ξ2 0 1 2 3 P 0.8 0.06 0.04 0.10 问：哪一台机床加工零件质量较好？ [解]　E(ξ1)＝0×0.7＋1×0.2＋2×0.06＋3×0.04＝0.44， E(ξ2)＝0×0.8＋1×0.06＋2×0.04＋3×0.10＝0.44. 它们的期望相同，再比较它们的方差． D(ξ1)＝(0－0.44)2×0.7＋(1－0.44)2×0.2＋(2－0.44)2×0.06＋(3－0.44)2×0.04＝0.606 4， D(ξ2)＝(0－0.44)2×0.8＋(1－0.44)2×0.06＋(2－0.44)2×0.04＋(3－0.44)2×0.10＝0.926 4. 因为D(ξ1)<D(ξ2)，所以A机床加工零件较稳定，质量较好． (1)解题时可采用比较分析法，通过比较两个随机变量的均值和方差得出结论． (2)均值体现了随机变量取值的平均大小，在两种产品相比较时，只比较均值往往是不恰当的，还需比较它们取值的离散型程度，即通过比较方差，才能准确地得出更恰当的判断．　　 一、在典题训练中内化学科素养 离散型随机变量的期望与方差是高考命题的重点内容之一，方差有时会出现在选择题或填空题中，难度适中．小题常考方差的性质及运算技巧，涉及数学运算的核心素养． 解析：赛制为3局2胜制，比赛没有平局，因此随机变量X的可能值为2,3，P(X＝2)＝p2＋(1－p)2＝2p2－2p＋1，A错误； P(X＝3)＝(1－p)p2＋p(1－p)p＋p(1－p)2＋(1－p)p(1－p)＝－2p2＋2p，B错误； ““四翼”检测评价”见““四翼”检测评价(十四)” (单击进入电子文档) 33