导数与函数单调性 专题练习-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

高二 .同步教学体系 　 导数与函数单调性关系 例1．设函数f'（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）=0，当x＞0时，xf'（x）﹣f（x）＞0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（　　） A．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0） B．（0，1）∪（1，+∞） C．（﹣∞，﹣1）∪（0，1） D．（﹣1，0）∪（1，+∞） 例2．若f（x）=x3+ax2+（a+3）x+b在R上不是单调函数，则实数a的取值范围是（　　） A．﹣2≤a≤6 B．a≤﹣2或a≥6 C．﹣2＜a＜6 D．a＜﹣2或a＞6 　 例3．已知函数f（x）=mx2+lnx﹣2x在定义域内是增函数，则实数m的取值范围为　 　． 例4．设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（2）=0，当x＞0时，有恒成立，则不等式x2f（x）＞0的解集为　 　． 　 例5．设函数f（x）=mx2﹣（2m+1）x+lnx，m∈R． （1）当m=3时，求f（x）的极值； （2）设m＞0，讨论函数f（x）的单调性． 例6．已知二次函数h（x）=ax2+bx+2，其导函数y=h′（x）的图象如图，f（x）=6lnx+h（x）． （1）求函数f（x）的解析式； （2）若函数f（x）在区间上是单调函数，求实数m的取值范围． 例7．已知函数f（x）=mx3﹣3（m+1）x2+（3m+6）x+1，其中m＜0 （1）若f（x）的单调增区间是（0，1），求m的值； （2）当x∈[﹣1，1]时，函数y=f（x）的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m，求m的取值范围． 例8．定义在R上的函数f（x）=ax3+bx2+cx+3同时满足以下条件： ①f（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数； ②f′（x）是偶函数； ③f（x）在x=0处的切线与直线y=x+2垂直． （Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式； （Ⅱ）设g（x）=lnx﹣，若存在x∈[1，e]，使g（x）＜f′（x），求实数m的取值范围． 例9．已知函数 （1）若f′（1）=2，求m的值； （2）若函数y=f（x）在[1，+∞）上为单调函数，求m的取值范围． 例10．（1）已知函数f（x）=axekx﹣1，g（x）=lnx+kx．当a=1时，若f（x）在（1，+∞）上为减函数，g（x）在（0，1）上为增函数，求实数k的值 （2）已知函数f（x）=x+﹣2lnx，a∈R，讨论函数f（x）的单调区间． 例11．已知函数f（x）=ax﹣ （Ⅰ）若函数f（x）在区间[1，+∞）上是单调函数，求实数a的取值范围； （Ⅱ）讨论函数f（x）的单调区间． 例12．已知：三次函数f（x）=x3+ax2+bx+c，在（﹣∞，﹣1），（2，+∞）上单调增，在（﹣1，2）上单调减，当且仅当x＞4时， f（x）＞x2﹣4x+5． （1）求函数f （x）的解析式； （2）若函数，求h（x）的单调区间． 　 参考答案与试题解析 1．设函数f'（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）=0，当x＞0时，xf'（x）﹣f（x）＞0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（　　） A．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0） B．（0，1）∪（1，+∞） C．（﹣∞，﹣1）∪（0，1） D．（﹣1，0）∪（1，+∞） 解：由题意设g（x）=，则g′（x）= ∵当x＞0时，有xf′（x）﹣f（x）＞0， ∴当x＞0时，g′（x）＞0， ∴函数g（x）=在（0，+∞）上为增函数， ∵函数f（x）是奇函数， ∴g（﹣x）=g（x）， ∴函数g（x）为定义域上的偶函数， g（x）在（﹣∞，0）上递减， 由f（﹣1）=0得，g（﹣1）=0， ∵不等式f（x）＞0⇔x•g（x）＞0， ∴或， 即有x＞1或﹣1＜x＜0， ∴使得f（x）＞0成立的x的取值范围是：（﹣1，0）∪（1，+∞）， 故选：D． 　 2．若f（x）=x3+ax2+（a+3）x+b在R上不是单调函数，则实数a的取值范围是（　　） A．﹣2≤a≤6 B．a≤﹣2或a≥6 C．﹣2＜a＜6 D．a＜﹣2或a＞6 解：f′（x）=x2+ax+（a+3）， ∵若函数f（x）在R上不是单调函数， ∴f′（x）有两个不等的根， ∴△=a2﹣4（a+3）＞0则a＞6或a＜﹣2， 故选：D． 　 3．已知函数f（x）=mx2+lnx﹣2x在定义域内是增函数，则实数m的取值范围为　[1，+∞）　． 解：∵函数f（x）=mx2+lnx﹣2x在定义域（x＞0）内是增函数，∴≥0，化为．