广东省揭阳市揭东区2022-2023学年高二上学期期末考试数学试题

高二级第一学期期末考数学参考答案 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A A A D D B B B 二、多选题（共4小题，满分20分，每小题5分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.） 题号 9 10 11 12 答案 BC BC ABD ACD 12．解：因为双曲线的两条渐近线的倾斜角分别为和，作图可知，若直线过点且与双曲线的右支有两个交点，则直线倾斜角的取值范围为，A正确； 设焦距为，由题可知，故，如图，过点分别作，，的垂线，垂足分别为，因为为的内心，所以由全等得,，，因为，所以，又，得，所以，M点横坐标为a，同理可得N点横坐标也为，当直线不垂直于轴时，，B错误； 设直线的倾斜角为，因为分别为和的内心，则，所以，C正确； 由（1）得，则，，所以，，，因为，所以，当且仅当，即时等号成立，所以三角形的面积，D正确． 故选：ACD． 三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分） 13． 　　14．或（不唯一）　 　15．　　 16． 四．解答题（共6小题，满分70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（本题满分10分） 解：（1）因为，所以，……………………2分 又，所以，　　　　　　　…………………………………………4分 又，所以；　　　　　　　　　…………………………………………5分 （2）由正弦定理可知：，………………………6分 又， 所以，…………8分 所以．　　………………………10分 18． （本题满分12分） 解：（1）由题意，，　　　　　　　　　………………………2分 解得，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　………………………4分 ∴．　　　　　　　　　　　　　　　………………………6分 （2）由，　　　………………………9分 ∴．…………12分 19． （本题满分12分） 解：（1）在直三棱柱中，平面,平面, 所以，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　………………………1分 又由题可知，，　　　　　　　　　　　　　　　　………………………2分 ，平面且，　　　　　　　　　………………………3分 所以平面，　　　　　　　　　　　　　　　　………………………4分 又因为平面，所以．　　　　　　　　………………………5分 （2）以为坐标原点，分别为轴建系如图， 由，，可得，　　　　　　………………………6分 则有，，　　　　………………………7分 设平面的一个法向量为 ， 所以 即 令则， 所以　　　　　　　　　　　　　　　　　　………………………9分 因为平面,所以为平面的一个法向量………………10分 所以，，　　………………………11分 即二面角的余弦值等于．　　　　　　　　………………………12分 20． （本题满分12分） 解：（1）根据频率分布直方图可得： 平均年龄为：；…………2分 第一组：的频率为：，第二组：的频率为：， 第三组：的频率为：，第四组：的频率为：． 又，　　　　　　　　　　　　　　　　　………………………4分 故第80百分位数为第四组小长方形底边中点值．　………………………5分 （2）因为第一组的频数为，且第一组的频率为，故可得，……………6分 则第四组有：人，第五组有：人．　　………………………7分 又分层抽样的抽样比是．　　　　　　　　　　　　　 故需要从第四组抽取：人，第五组抽取：人．　…………………8分 不妨设除甲乙外的四人为, 故从第四组和第五组被抽到的使者中抽取2人的所有情况如下： 甲，甲，甲，甲，甲乙； 乙, 乙, 乙, 乙； ； ； 故所有抽取的可能有种，其中甲乙至少一人抽取的可能有种，……………………11分 故甲､乙两人至少有一人被选上的概率为：．　　　　　　………………………12分 21． （本题满分12分） 解：（1）根据等比数列的定义和表格中数据，得到，，，……………2分 即数列是首项为，公比为的等比数列，故．　…………………4分 （2）因为　　………………………5分 当为偶数时， 　　　　　　　　　　　　　　　　　………………………8分 当为奇数时， 　　　　　　………………………11分 综上所述，　　　　　　　　　　　　………………………12分 22． （本题满分12分） 解：（1）由题意可知，　　　　　　　　　　　　　　　………………………1分 当点M在x轴上时，，不妨设，　　　　………………………2分 得，解得，　　　　　　　　　　　　　　………………………4分 所以椭圆C的标准方程为．