6.2.3向量的数乘运算　课件——2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

§6.2.3向量的数乘运算 及其几何意义 1.向量加法三角形法则: 特点:首尾相接，由头指尾 特点:共起点 B A O 特点：起点相同连终点，被减向量定方向 2.向量加法平行四边形法则: 3.向量减法三角形法则: 讲授新课 思考题1:已知向量 如何作出 和 O A B C N M Q P 记: 即: 同理可得: 思考题2: 向量 与向量 有什么关系? 向量 与向量 有什么关系? (1)向量 的方向与 的方向相同, 向量 的长度是 的3倍,即 (2)向量 的方向与 的方向相反, 向量 的长度是 的3倍,即 1、实数与向量的积的定义： 数乘向量的几何意义就是把向量 沿 的方向或反 方向放大或缩短.若 ,当 沿 的方 向放大了 倍.当 沿 的方向缩短了 倍. 当 ,沿 的反方向放大了 倍.当 沿 的反方向缩短了 倍.由其几何意义可以看出 用数乘向量能解决几何中的相似问题. 2、数乘向量的几何意义： 思考:(1) 3 (2) (3) 2(a+b)=? 2a+2b=? 3.数乘向量的运算律: 设 为实数,那么 2a+2b 2(a+b) = 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算。 对于任意的向量 以及任意实数 恒有 注：向量与实数之间可以像多项式一样进行运算. 例1：计算题 向量与实数可以求积，那么向量和实数可以进行加减运算吗？ 不可以．向量与实数不能进行加减运算，如1＋a和λ－a无法运算． 思考: 当a与b同方向时，有b=μa; 当a与b反方向时，有b=-μa， 所以始终有一个实数λ，使b=λa。 1、如果 b=λa , 那么，向量a与b是否共线？ 2、如果非零向量a与b共线，那么是否有λ，使b=λa ？ 对于向量a(a≠0)、b，如果有一个实数λ，使得b=λa , 那么，由数乘向量的定义知：向量a与b共线。 若向量a与b共线，a≠0，且向量b的长度是a的长度的μ倍，即有|b|=μ|a|,且 2) 可以是零向量吗? 思考:1) 为什么要是非零向量? 4、共线向量基本定理： 向量 与非零向量 共线,当且仅当有唯一一个实数 ，使得 判断下列各小题中的向量a与b是否共线 a=-b a,b共线 a=-2b a,b共线 例2. 如图,已知任意两个非零向量 a, b, 试作 你能判断 A、B、C三点之间的位置关系吗?为什么? a b O a A B C 所以,A、B、C三点共线 b 2b 3b 解: 例3 如图, 的两条对角线相交于点M, 且 A D C B a b M 解：在 平行四边形的两条对角线互相平分 一、①λa 的定义及运算律 ②向量共线定理 (a≠0) b=λa 向量a与b共线 二、定理的应用： 1. 证明 向量共线 2. 证明 三点共线: AB=λBC A,B,C三点共线 3. 证明 两直线平行: AB=λCD AB∥CD AB与CD不在同一直线上 直线AB∥直线CD 小结: H G A C E B D F B A C N M $