精品解析：上海市七宝中学2022届高三下学期3月月考数学试题

上海市七宝中学2021-2022学年高三下3月月考 数学试卷 一、填空题（本大题共有12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 已知集合，，且，则实数的值是___________． 2. 若直线l的参数方程为，，则直线l在y轴上的截距是________. 3. 如果一个圆柱的高不变，要使它的体积扩大为原来的倍，那么它的底面半径应该扩大为原来的_______倍. 4. 平面上有12个不同的点，其中任何3点不在同一直线上. 如果任取3点作为顶点作三角形，那么一共可作_________个三角形.（结果用数值表示） 5. 把三阶行列式中第1行第3列元素的代数余子式记为，则关于x的不等式的解集为___________． 6. 已知点满足约束条件：，则目标函数的最小值为______. 7. 已知，、，是虚数单位.若复数是实数，则的最小值为______. 8. 已知定义在上的函数满足：①；②；③在，上的表达式为，则函数与的图象在区间，上的交点的个数为_______. 9. 已知6个正整数，它们平均数是5，中位数是4，唯一的众数是3，则这6个数的方差的最大值为___________． 10. 瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上.这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作，，点，点，过其“欧拉线”上一点作圆的两条切线，切点分别为、，则的最小值为______. 11. 已知单位向量，向量，满足，且，其中，当取到最小时，_______． 12. 已知是定义在上的函数, 若在定义域上恒成立，而且存在实数满足：且，则实数的取值范围是_______ 二、选择题（本大题共有4小题，满分20分，每题5分） 13. 的展开式中的系数为 A. 10 B. 20 C. 40 D. 80 14. 已知欧拉公式(i为虚数单位),则根据欧拉公式表示的复数在复平面位于 A 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 15. 已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是　　 A. B. C. D. 16. 设为多面体一个顶点，定义多面体在处的离散曲率为其中为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面遍历多面体的所有以为公共点的面，如图是正四面体、正八面体、正十二面体和正二十面体(每个面都是全等的正多边形的多面体是正多面体)，若它们在各顶点处的离散曲率分别是，则的大小关系是 A. B. C. D. 三、解答题（本大题共5题，满分76分） 17. 如图，在正三棱柱中，，异面直线与所成角的大小为. （1）求正三棱柱的体积； （2）求直线与平面所成角的大小.（结果用反三角函数值表示） 18. 某地计划在一处海滩建造一个养殖场． （1）如图（a）所示，射线、为海岸线，，用长度为的围网依托海岸线围成一个的养殖场，问如何选取点P、Q，才能使养殖场的面积最大，并求最大面积． （2）如图（b所示，直线l为海岸线，现用长度为的围网依托海岸线围成一个养殖场． 方案一：围成三角形（点A、B在直线l上），使三角形面积最大，设其为； 方案二：围成弓形（点D、E在直线l上，C是优弧所在圆圆心且），面积为． 试求出的最大值和（均精确到），并指出哪一种设计方案更好． 19. 已知各项均为不为零的数列满足，前项的和为，且，数列满足. （1）求； （2）已知等式对成立，请用该结论求有穷数列的前项和. 20. 我们把具有公共焦点、公共对称轴的两段圆锥曲线弧合成的封闭曲线称为“盾圆”. （1）设椭圆：与双曲线：有相同的焦点、，M是椭圆与双曲线的公共点，且的周长为6，求椭圆的方程； （2）如图1，已知“盾圆”的方程为，设“盾圆”上的任意一点M到的距离为，M到直线：的距离为，求证：为定值； （3）如图2，由抛物线弧：与第（1）小题椭圆弧：所合成的封闭曲线为“盾圆”，设“盾圆”上的两点、关于轴对称，为坐标原点，试求的面积的最大值． 21. 已知定义域为的函数同时满足：①对于任意的，总有；②；③若，则有． （1）求值； （2）求函数的最大值； （3）证明：满足上述条件的函数对定义域内任意实数x，都有． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市七宝中学2021-2022学年高三下3月月考 数学试卷 一、填空题（本大题共有12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 已知集合，，且，则实数的值是___________． 【答案】1 【解析】 【分析】由子集定义分类讨论即可. 【详解】因为，所以，， 当时，无意义，不满足题意； 当时，，满足题意； 当时，，不满足题意. 综上，实数的值1. 故答案为：1 2. 若直线l的参数方程为，，则直线l在y轴上的截