专题04 二项式定理及二项式系数性质（课件+讲义）-2022-2023学年高二数学新教材同步考点巩固与难点提升（人教A版2019选择性必修第三册）

专题04二项式定理及二项式系数性质 复 习 概念复习 技巧复习 巩 固 考点一：二项式定理的正用、逆用 考点二：二项展开式通项的应用 考点三：利用二项展开式的通项求参数 考点四：与杨辉三角有关的问题 考点五：二项展开式的系数的和问题 考点六：二项式系数性质的应用 提 升 难点一：三项式展开式问题 难点二：利用二项式定理证明不等式 难点三：利用二项式定理解决整除问题 难点四：文化素养杨辉三角与数列结合 难点五：多项相乘展开式问题 难点六：二项式系数奇偶项问题 小测 单选：共6题 多选：共2题 填空：共2题 解答：共3题 一、复习 【概念复习】 1.(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋Can－2b2＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*). (1)这个公式所表示的规律叫作二项式定理. (2)等号右边的多项式叫作(a＋b)n的二项展开式，展开式中一共有n＋1项. (3)各项的系数C(k＝0，1，2，…，n)叫作二项式系数. (4)二项式通项：(a＋b)n展开式的第k＋1项叫做二项式通项，记作Tk＋1＝Can－kbk. 二项式定理的特例：(1＋x)n＝C＋Cx＋Cx2＋…＋Cxk＋…＋Cxn. 2.从函数的观点分析二项式系数 对于(a＋b)n的展开式的二项式系数C，C，C，…，C，可以从函数的角度分析它们，C可看成以r为自变量的函数f(r)，其定义域是{0，1，2，…，n}. 3.二项式系数的性质 ①对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.事实上，这一性质可直接由C＝C得到. ②增减性与最大值 当k<时，C随k的增加而增大；由对称性知，当k>时，C随k的增加而减小. 当n是偶数时，中间的一项取C得最大值； 当n是奇数时，中间的两项C与C相等，且同时取得最大值. ③各二项式系数的和 C＋C＋C＋…＋C＝2n； C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1. 【技巧复习】 1.求形式简单的二项展开式时可直接由二项式定理展开，展开时注意二项展开式的特点：前一个字母是降幂，后一个字母是升幂. 2.逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数. 3.求二项展开式的特定项的常见题型 ①求第k项，Tk＝Can－k＋1bk－1；②求含xk的项(或xpyq的项)；③求常数项；④求有理项. 4.求二项展开式的特定项的常用方法 ①对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)； ②对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项.解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解. 5.二项式中的参数求解问题，一类是借助二项式定理的通项公式求解，需要注意的是展开式中第r＋1项的二项式系数C与第r＋1项的系数是不同的，特别要注意符号；另一类是利用二项式系数或特定项求指数n，要注意n为正整数. 6.解决杨辉三角要抓住两点： 1.(1)观察：对题目要横看、竖看、隔行看、连续看，多角度观察. (2)找规律：通过观察找出每一行的数之间，行与行之间的数据的规律. 2.数学化：将数据间的这种联系用数学式表达出来，使问题得解. 7.赋值法是求二项展开式系数和及有关问题的常用方法，注意取值要有利于问题的解决，可以取一个值或几个值，也可以取几组值，解决问题时要避免漏项. 8.一般地，对于多项式f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，各项系数和为f(1)，奇次项系数和为[f(1)－f(－1)]，偶次项系数和为[f(1)＋f(－1)]，a0＝f(0). 9.二项式系数的最大项的求法 求二项式系数的最大项，根据二项式系数的性质对(a＋b)n中的n进行讨论. ①当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大. ②当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大. 10.展开式中系数的最大项的求法 求展开式中系数的最大项与求二项式系数最大项是不同的，需要根据各项系数的正、负变化情况进行分析.如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式中系数的最大项，一般采用待定系数法，设展开式中各项系数分别为A0，A1，A2，…，An，且第k＋1项最大，应用解出k，即得出系数的最大项. 二、巩固 【考点一】二项式定理的正用、逆用 【典例】(1)求4的展开式； (2)化简(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)。 【解析】(1)解法一：4 ＝C(3)4＋C(3)3＋C(3)2·2＋C(3)3＋C4 ＝81x2＋108x＋54＋＋。 解法二：4＝ ＝(81x4＋108x3＋54x2＋12x＋1) ＝81x2＋108x＋54＋＋。 (2