专题03 组合与组合数（课件+讲义）-2022-2023学年高二数学新教材同步考点巩固与难点提升（人教A版2019选择性必修第三册）

专题03组合与组合数 复 习 概念复习 技巧复习 巩 固 考点一：组合概念的理解 考点二：列举具体问题的组合 考点三：简单的组合问题 考点四：组合数公式及其应用 考点五：有限制条件的组合问题 考点六：与几何有关的组合问题 考点七：排列与组合的综合问题 提 升 难点一：分组分配问题 难点二：组合数公式的化简与证明 难点三：文化素养与排列组合综合 难点四：新定义问题 难点五：组合与其他知识交汇 难点六：复杂的组合问题 小测 单选：共6题 多选：共2题 填空：共2题 解答：共3题 一、复习 【概念复习】 组合的概念：一般地，从n个不同元素中取出m(m，n∈N*，且m≤n)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合. 两个组合只要元素相同，不论元素的顺序如何，都是相同的. 组合数的概念：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C表示. 组合数公式： (乘积式)C＝＝. (阶乘式)C＝(n，m∈N*，且m≤n). 规定C＝1. 组合数的性质：C＝C，C＝C＋C. 【技巧复习】 1.区分排列与组合的办法是首先弄清楚事件是什么，区分的标准是有无顺序，与顺序有关是排列问题，与顺序无关的是组合问题. 2.判断是否与元素的顺序有关.把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；否则，则无顺序，是组合问题. 3.解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出元素之间的顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关. 4.要注意两个基本原理的运用，即分类与分步的灵活运用.在分类和分步时，一定注意有无重复或遗漏. 二、巩固 【考点一】组合概念的理解 【典例】一条铁路线上有3个火车站，需准备________种不同的车票；有________种不同的票价。 【解析】前者是排列问题，后者是组合问题，通过列举得前者需用A＝6种车票，后者仅需3种不同的票价。 【变式】在下列问题中，哪些是组合问题？哪些是排列问题？ (1)从a，b，c，d这4名学生中选出2名学生，有多少种不同的选法？ (2)从a，b，c，d这4名学生中选出2名学生完成2件不同的工作，有多少种不同的选法？ (3)a，b，c，d这4支足球队之间进行单循环比赛，共需赛多少场？ (4)a，b，c，d这4支足球队争夺冠亚军，有多少种不同的结果？ 【解析】(1)没有顺序，是组合问题。 (2)2名学生完成2件不同的工作，有顺序，是排列问题。 (3)单循环比赛要求每两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题。 (4)争夺冠亚军是有顺序的，是排列问题。 【考点二】列举具体问题的组合 【典例】平面内有A，B，C，D四个不同的点，其中任意3个点不共线. (1)试写出以其中任意两个点为端点的有向线段； (2)试写出以其中任意两个点为端点的线段； (3)试写出以其中任意三点为顶点的三角形. 【解析】(1)以其中任意两个点为端点的有向线段为一个排列问题， 共有有向线段：，，，，，，，，，，，. (2)以其中任意两个点为端点的线段为一个组合问题， 共有线段：AB，AC，AD，BC，BD，CD. (3)以其中任意三点为顶点的三角形是一个组合问题，共有△ABC，△ABD，△BCD. 【变式】从5个不同元素a，b，c，d，e中取出2个，写出所有不同的组合. 【解析】要想写出所有组合，先将元素按照一定顺序排好，然后按顺序用图示的方法将各个组合逐个标出来，如图所示： 由此可得所有的组合为ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de. 【考点三】简单的组合问题 【典例】一位教练的足球队共有17名初级学员，他们中以前没有一人参加过比赛．按照足球比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是11人．问： (1)这位教练从这17名学员中可以形成多少种学员上场方案？ (2)如果在选出11名上场队员时，还要确定其中的守门员，那么教练员有多少种方式做这件事情？ 【解析】(1)由于上场学员没有角色差异，所以可以形成的学员上场方案种数为C＝12 376. (2)教练员可以分两步完成这件事情： 第1步，从17名学员中选出11人组成上场小组，共有C种选法； 第2步，从选出的11人中选出1名守门员，共有C种选法． 所以教练员做这件事情的方式种数为C×C＝136 136. 【变式】一个口袋内装有7个白球和1个黑球． (1)从口袋内取出3个球，共有多少种取法？ (2)从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？ (3)从口袋