向量解题技巧与高考分析讲义-2023届高三数学二轮专题复习

《向量》解题技巧与高考分析（教师版） 肇庆市实验中学 刘志荣 【学习目标】 1.掌握向量解题常用技巧、方法； 2.通过对历年考题分析，弄清向量板块高考命题规律，并通过系统练习掌握解题技能与要领。 【学习过程 · 解题技巧 常用技巧或方法： （1） 向量模的平方等于向量的平方，故求模可以转求向量的平方，再开方。 【典型题】 1、【2017，13】已知向量a,b的夹角为60°,|a|=2,|b|=1,则|a+2b|=　2　.  2、【2020，14】 设为单位向量，且，则______________. 【答案】 整理已知可得：，再利用为单位向量即可求得，对变形可得：，问题得解. 【详解】因为为单位向量，所以 所以 解得： 所以 故答案为： 3、【2012，13】已知向量夹角为 ，且；则 【解析】 4．（2014新课标Ⅱ，理3文4）设向量满足，，则（ ） A．1 B． 2 C． 3 D． 5 【答案】A 【解析】∵，，∴……①，……②． 由①②得：，故选A． 5．(2018北京)设，均为单位向量，则“”是“⊥”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】∵，∴，∴ ，又，∴，∴；反之也成立，故选C． 6．（2012安徽）若平面向量，满足：；则的最小值是． 【答案】 【解析】， ∴ （2） 运用数量积公式求角 【典型题】 1、【2019，8】已知非零向量a,b满足|a|=2|b|,且(a-b)⊥b,则a与b的夹角为( B ) A. B. C. D. 2、【2016，3】已知向量 ， 则ABC= (A)300 (B) 450 (C) 600 (D)1200 【答案】A 【解析】由题意，得，所以，故选A． 3、（2020全国Ⅲ理6）已知向量满足，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路导引】计算出、的值，利用平面向量数量积可计算出的值． 【解析】，，，． ，因此．故选D． 4．（2019•新课标Ⅲ，文13）已知向量，，则，　　． 【答案】 【解析】由题知，，，， ，． 5．（2019•新课标Ⅰ，理7文8）已知非零向量，满足，且，则与的夹角为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，，，，，故选． 6．（2020浙江17）设，为单位向量，满足，，，设，的夹角为，则的最小值为 ▲ ． 【答案】 【思路导引】利用复数模的平方等于复数的平方化简条件得，再根据向量夹角公式求函数关系式，根据函数单调性求最值． 【解析】，解得：， ， 设， 则， 当时，，∴的最小值是，故答案为： ． （3） 运用方程求未知量 · 根据条件建立方程（组）求未知量。 【典型题】 1．（2020全国Ⅰ文14）设向量，若，则 ． 【答案】5 【思路导引】根据向量垂直，结合题中所给的向量的坐标，利用向量垂直的坐标表示，求得结果． 【解析】由可得，又∵， ∴，即，故答案为：． 2．（2020全国Ⅱ理13）已知单位向量的夹角为45°，与垂直，则__________． 【答案】 【思路导引】首先求得向量的数量积，然后结合向量垂直的充分必要条件即可求得实数k的值． 【解析】由题意可得：，由向量垂直的充分必要条件可得：， 即：，解得：，故答案为：． 3．（2013新课标Ⅰ，理13文13）已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b，若b·c=0，则t=_____． 【答案】2 【解析】=====0，解得=． 4．（2011江苏）已知，是夹角为的两个单位向量，，， 若，则的值为 ． 【答案】 【解析】由题意知，即，即，化简可求得． 5．（2012课标，理13）已知向量，夹角为，且||=1，||=，则||= ． 【答案】． 【解析】∵||=，平方得，即，解得||=或（舍） 6．(2017山东)已知，是互相垂直的单位向量，若与的夹角为，则实数的值是 ． 【答案】 【解析】， ， ， ，解得：． 7．（2013山东）已知向量与的夹角，且||=3，||=2，若 ，且，则实数的值为_____． 【答案】 【解析】向量与的夹角为，且所以．由得，，即，所以，即，解得． （4） 建立坐标系，用向量坐标运算求解 【典型题】 1．（2017•新课标Ⅱ，理12）已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是　　 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】建立如图所示的坐标系，以中点为坐标原点，则，，， 设