三角函数解题技巧与高考分析讲义-2023届高三数学二轮专题复习

《三角》解题技巧与高考分析（教师版） 肇庆市实验中学 刘志荣 【学习目标】 1.掌握三角解题常用技巧； 2.通过对历年考题分析，弄清三角板块高考命题规律，并通过系统练习掌握解题技能与要领。 【学习过程】 · 解题技巧 常用技巧或方法： （1） 切化弦，弦化切 · “切化弦”也就是解题时，常用同角关系把正切化为正弦和余弦； “弦化切”也就是解题时，常把带正、余弦的齐次式通过分子分母同时除以cosa或cos2a，化为只带正切式子。 【典型题】 1、【2017，13】知,tan α=2，则=__________． 解析：由得 （解题思路：切化弦） 又，所以 因为，所以（解题思路：与（隐藏）组成方程组） 因为 所以 （解题思路：代入差角余弦公式） 2、 ＋32cos212°的值为(　　) A．4 B．8 C．16 D．32 答案　C 解析　原式＝＋16·(2cos212°－1)＋16 ＝＋16cos 24°＋16 ＝＋16cos 24°＋16 ＝＋16cos 24°＋16 ＝＋16cos 24°＋16＝16. 3．化简： (1)tan 70°cos 10°(tan 20°－1)； (2)sin 50°(1＋tan 10°)． 解析　(1)原式＝tan 70°cos 10°× ＝×cos 10°×＝＝－1. (2)原式＝sin 50°×＝sin 50°×＝＝1. 4、已知tan α＝3，求下列各式的值． (1)；（一次齐次式） (2)；（二次齐次式） (3)sin2α＋cos2α.（可变二次齐次式） （解题思路：一次齐次式、二次齐次式化正切） 【解析】　(1)原式＝＝＝. (2)原式＝＝＝－. (3)原式＝＝ ＝＝. （2） 数的代换 · 因为1=sin2a+cos2a,解题时常把“1”用“sin2a+cos2a”替换，其它类推。 【典型题】 1、sin2α＋cos2α.（可变二次齐次式） 解：原式＝＝ ＝＝. 2、如果tan θ＝2，那么1＋sin θcos θ的值是(　　) A.　　　　　　　　　 B. C. D. 【解析】　1＋sin θcos θ＝＝＝＝. 3．若3sin α＋cos α＝0，则的值为(　　) A. B. C. D．－2 答案　A 解析　3sin α＝－cos α⇒tan α＝－. ∴＝＝＝＝. （3） “平方”、“开方”、“配方” · “平方”：求一个式的值，先求平方，再开方；“配方”即配成完全平方。 【典型题】 1、【2021，6】若，则（ ） A. B. C. D. 【详解】将式子进行齐次化处理得： （解题思路：“1”的代换，配方，消分母化二次齐次式） ．（解题思路：二次齐次式化正切） 故选：C． 2．已知cos α－sin α＝，且π<α<，求的值． 解析　因为cos α－sin α＝，两边同时平方得1－2sin αcos α＝，所以2sin αcos α＝. 又π<α<，所以sin α＋cos α＝－＝－， 所以＝＝＝＝－. 3．已知sin(x－2π)－cos(π－x)＝，x为第二象限角，求： (1)sin x与cos x的值； (2)角x的集合． 解析　(1)由已知得sin x＋cos x＝，① 两边平方得sin xcos x＝－. ∵x为第二象限角， ∴sin x>0，cos x<0，∴sin x－cos x>0， ∴sin x－cos x＝＝＝.② 联立①②得sin x＝，cos x＝－. (2)∵sin＝sin ＝， ∴在第二象限内符合条件的角是x＝. ∴所求的角的集合为 （4） 整体角 · 即是把一个复杂的角看成一个整体，作一个角看待。 【典型题】 1．已知x∈(k∈Z)，且cos＝－，则cos 2x的值是(　　) A．－ B．－ C. D. 答案　B 解析　∵x∈，∴cos x－sin x>0，即sin＝(cos x－sin x)>0，∴sin＝，又∵cos 2x＝sin＝2sincos(－x)，∴cos 2x＝2××＝－. 2.已知为锐角，且，则__________． 【答案】 【解析】因为为锐角，， 则， 所以， . 故答案为： . （5） 化单一函数 · 三角函数性质题，一般先把函数化单一函数。 【典型题】 1．已知函数f(x)＝＋2sin x.求函数f(x)的最小正周期及其单调递增区间； 解析　(1)函数f(x)的定义域为{x|x≠－＋kπ，k∈Z}，由已知得f(x)＝＋2sin x＝sin x＋cos x＝sin(x＋)，所以T＝＝2π，由－＋2kπ≤x＋<2kπ，且x≠－＋kπ，k∈Z，得－＋2kπ≤x<－＋2kπ，k∈Z，由2kπ<x＋≤＋2kπ，且x≠－＋kπ，k∈Z，得－＋2kπ<x≤＋2kπ