2023年九年级数学中考专题：二次函数综合压轴题

2023年九年级数学中考专题：二次函数综合压轴题 1．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，，． (1)求抛物线的解析式； (2)在第二象限内的抛物线上确定一点P，使四边形的面积最大，求出点P的坐标； (3)在（2）的结论下，点M为x轴上一动点，抛物线上是否存在一点Q，使点P、B、M、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论a为任何实数，此方程总有两个不相等的实数根； (2)如图，若抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点C，连结与对称轴交于点D． ①求抛物线解析式和点B的坐标； ②若点P是抛物线上位于直线的上方一动点，连接、，过点P作轴，交于点M，求面积的最大值及此时点P的坐标． 3．已知：如图，抛物线（）交轴于、两点，交轴于点，直线：交轴于点，交轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)若为抛物线上一点，连接、，设点的横坐标为（），的面积为，求与函数关系式；（不要求写出自变量的取值范围） (3)在（2）的条件下，点在线段上，点是第二象限抛物线上一点，，，且，求点的坐标． 4．如图，抛物线与x轴交于点、B两点，顶点，过点A的直线与抛物线相交于点C，与抛物线对称轴DF交于点E，． (1)求该抛物线解析式； (2)在对称轴上是否存在一点M，使以点A、E、M为顶点的三角形与相似，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． (3)点P是线段上一动点，过点P作直线轴交抛物线于点Q，当线段的长度最大时，求P点坐标与的最大值． 5．综合与探究 如图，抛物线与x轴交于A，两点（点A在点B的左侧）．与y轴交于点，直线BC经过B，C两点，点Р是第一象限内抛物线上的一个动点，连接PB，PC． (1)求抛物线的函数表达式； (2)设点P的横坐标为n，四边形的面积为S，求S的最大值并求出此时点P的坐标； (3)在（2）的条件下，当S取最大值时，在PC的垂直平分线上是否存在一点M，使是等腰三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 6．如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点，抛物线经过点． (1)求k的值和抛物线的解析式； (2)为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线及抛物线分别交于点P和点N，且点P是线段上异于的动点． ①求面积最大值； ②若以点为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出m的值． 7．已知抛物线经过，两点，与c轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）． (1)求抛物线的解析式； (2)点C为第四象限抛物线上一动点，直线与y交于点D，连接． ①如图1，若时，求点C的坐标； ②如图2，直线与抛物线交于点E，连接．问：是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 8．已知抛物线经过、两点（点在点的左侧），与轴交于点，，． (1)如图1，求此抛物线的表达式； (2)如图2，直线经过点，交于点，点为线段的中点，过点作轴于点，作于点，连结、． ①求证：是等腰直角三角形； ②当的周长最小时，求直线的表达式． 9．如图，已知抛物线经过、两点，其对称轴与x轴交于点C． (1)求该抛物线和直线的解析式； (2)在该抛物线的对称轴上存在点P，使得的周长最小，求出P点的坐标； (3)设抛物线与直线相交于点D，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q．使得的面积等于的面积？若存在，直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由． 10．如图，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，对称轴与轴交于点．点绕上一点逆时针旋转，与点重合． (1)求抛物线的表达式； (2)求点的坐标； (3)在平面内存在一点，使以点、、、为顶点的四边形为平行四边形．请直接写出点的坐标． 11．已知：抛物线与轴交于点（其中点为定点），与轴交于点，记抛物线在轴及轴右侧的图象为，图象的最高点为点，另有直线，图1是取某值时的图象． (1)当______时，抛物线过原点，此时______； (2)若，且点在点的左侧，求点的坐标； (3)当点的纵坐标为16时，求的值； (4)当为何值时，图象上恰好存在两点到直线距离为，直接写出符合条件的取值范围______． 12．已知抛物线交轴于和，交轴于． (1)求抛物线的解析式； (2)若为抛物线上第二象限内一点，求使面积最大时点的坐标； (3)若是对称轴上一动点，是抛物线上一动点，是否存在、，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点的坐标． 13．综合与探究如图1，已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C．点是线段上的动点，过点D做轴垂足为E． (1)请直接写出点A，B，C坐标以及直线的解析式； (2)若的面积为S，请求出S关于m的函数关系式，并求出当m的值为多少时，S的值最大？最大值为多少？ (3)如