2023年九年级数学中考专题：二次函数综合压轴题（相似三角形问题）

2023年九年级数学中考专题：二次函数综合压轴题（相似三角形问题） 1．如图，抛物线经过点，和坐标原点，顶点为． (1)求抛物线的表达式； (2)求证：是直角三角形； (3)若点是抛物线上第一象限内的一个动点，过点作轴，垂足为，是否存在点，使得以P，M，A为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．已知菱形的边长为5，且点，点E是线段的中点，过点A，E的抛物线与边交于点D， (1)求点的坐标； (2)连接，将沿着翻折痕． ①当的对应点恰好落在线段上时，求点的坐标； ②连接，，若与相似，请直接写出此时抛物线二次项系数______． 3．如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，顶点为，抛物线的对称轴与轴交于点，连接，． (1)求点，，，的坐标； (2)点为抛物线对称轴上的动点，且与相似，请直接写出符合条件的点的坐标； (3)点为抛物线上的动点，是否存在这样的点，使是直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 4．已知抛物线与轴的交点为点、点且，点是抛物线的一个动点不与点、重合，作轴于点，线段的最大值是． (1)求抛物线的解析式． (2)当点运动到什么位置时，图中的矩形是正方形？并求出点的坐标． (3)是否在此抛物线上存在点使得与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 5．如图，抛物线与x轴交于A和B两点（点B位于点A右侧），与y轴交于点C，对称轴是直线x=2，且OA=1，OC=3，连接AC，BC． (1)求此抛物线的函数解析式； (2)设抛物线的顶点为点P，请在x轴上找到一个点D，使以点P、B、D为顶点的三角形与△ABC相似？ (3)此抛物线的对称轴和以AC为直径的圆是什么位置关系？如果是相切或相交，请直接写出切点或交点的坐标（不必写演推过程）；如果是相离，请简要说明理由． 6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．若线段的长满足，则这样的抛物线称为“黄金”抛物线，如图，抛物线为“黄金”抛物线，其与x轴交点为A，B（其中B在A的右侧），与y轴交于点C．且； (1)求抛物线的解析式； (2)若P为上方抛物线上的动点，过点P作，垂足为D． ①连接，当时，求点P的坐标． ②求的最大值． 7．抛物线y＝ax2﹣2x+c经过点A(3，0)，点C(0，﹣3)，直线y＝﹣x+b经过点A，交抛物线于点E．抛物线的对称轴交AE于点B，交x轴于点D，交直线AC于点F． (1)求抛物线的解析式； (2)如图①，点P为直线AC下方抛物线上的点，连接PA，PC，△BAF的面积记为S1，△PAC的面积记为S2，当S2＝S1时．求点P的横坐标； (3)如图②，连接CD，点Q为平面内直线AE下方的点，以点Q，A，E为顶点的三角形与△CDF相似时（AE与CD不是对应边），请直接写出符合条件的点Q的坐标． 8．综合与探究 如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点，设点P的横坐标为m．过点P作直线轴于点D，作直线BC交PD于点E (1)求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线BC的函数表达式； (2)当是以PE为底边的等腰三角形时，求点P的坐标； (3)连接AC，过点P作直线 ，交y轴于点F，连接DF．试探究：在点P运动的过程中，是否存在点P，使得，若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由． 9．如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，抛物线经过点A，B． (1)求n的值及抛物线的解析式； (2)为x轴上一动点，过点E作轴，交直线AB于点D，交抛物线于点P，连接BP． ①点E在线段OA上运动，若与相似，求点E的坐标； ②若抛物线的顶点为Q，AQ与CB的延长线交于点H，点E在x轴的正半轴上运动，若．请求写出m的值． 10．二次函数y＝ax2＋bx＋4的图象与x轴交于两点A、B，与y轴交于点C，且A（﹣1，0）、B（4，0）． (1)求此二次函数的表达式； (2)①如图1，抛物线的对称轴m与x轴交于点E，CD⊥m，垂足为D，点F（﹣，0），动点N在线段DE上运动，连接CF、CN、FN，若以点C、D、N为顶点的三角形与△FEN相似，求点N的坐标； ②如图2，点M在抛物线上，且点M的横坐标是1，将射线MA绕点M逆时针旋转45°，交抛物线于点P，求点P的坐标； (3)已知Q在y轴上，T为二次函数对称轴上一点，且△QOT为等腰三角形，若符合条件的Q恰好有2个，直接写出T的坐标． 11．如图，已知抛物线与轴交于点C，且经过点A(-1，0)，B(4，0)，点D与点C关于轴对称，点F是轴上一定点，点P(，0)是轴上的一个动点，过点P作轴的垂线交抛物线于点Q，交直线BD于点M．