2023年九年级数学中考专题：二次函数综合压轴题（特殊三角形问题）

2023年九年级数学中考专题：二次函数综合压轴题（特殊三角形问题） 1．如图，已知抛物线（）与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式及点的坐标； (2)若为抛物线上一点，连接，是否存在以为底的等腰？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得以、、为顶点的三角形为直角三角形，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．抛物线交x轴于，两点，与y轴交于点C，连接，．M为线段上的一个动点，过点M作轴，交抛物线于点P，交于点Q． (1)求抛物线的表达式； (2)设M点的坐标为，请用含m的代数式表示线段的长，并求出当m为何值时，有最大值，最大值是多少？ (3)试探究点M在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由． (4)在（2）的条件下，直线上有一动点R，连接，将线段绕点R逆时针旋转90度，使点O的对应点T恰好落在该抛物线上，直接写出点R的坐标． 4．如图，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，点与点关于轴对称，点是轴上的一个动点．设点的坐标为，过点作轴的垂线交抛物线于点． (1)求点，，的坐标； (2)当点在线段上运动时，直线交于点，试探究为何值时，四边形是平行四边形； (3)在点的运动过程中，是否存在点，使是以为直角边的直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 5．如图，抛物线的对称轴为，抛物线与x轴交于、B两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点在下方的抛物线上，且，求点的坐标； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使是直角三角形？若存在，求出符合条件的P点坐标；若不存在，请说明理由． 6．抛物线与x轴交于点和点，与轴交于点，连接，点是线段下方抛物线上的一个动点（不与点，重合），过点作轴的平行线交于点，交轴于点，设点的横坐标为． (1)求该抛物线的解析式； (2)用关于的代数式表示线段，求的最大值及此时点的坐标； (3)过点作于点，， ①求点的坐标； ②连接，在y轴上是否存在点，使得为直角三角形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 7．如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，且与轴的另一个交点为，对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； (2)已知点是抛物线对称轴上一点，当的值最小时，点的坐标是___________； (3)若点在抛物线对称轴上，是否存在点，使以点，，为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 8．如图，已知抛物线：与x轴交于A，B两点（点A在点B的右边），顶点为点C．将抛物线绕点A旋转后得抛物线，其中顶点C的对应点为点E，点B的对应点为点D． (1)当时，求抛物线的解析式； (2)如图1，连结，，，当是直角三角形时，求a的值； (3)如图2，是否存在外接圆面积的最小值，若存在，请直接写出a的值，若不存在，请说明理由． 9．如图，直线与轴、轴分别交于、两点，抛物线经过、两点，与轴的另一交点为点，顶点为点． (1)求抛物线的解析式； (2)设直线与抛物线两交点的横坐标分别为，，是否存在值使得，若存在，求的值；若不存在，说明理由； (3)在抛物线的对称轴上有一点，连接、，当时，求点坐标． 10．在平面直角坐标系中，抛物线经过，两点，与y轴相交于点C，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)M为直线上方抛物线上一动点，作于N，当长度最大时，求M点坐标； (3)如图2，抛物线的顶点为D，连接，点P在第四象限的抛物线上，与相交于点Q，是否存在点P，使，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 11．如图，抛物线交轴于，两点，与轴交于点，，．为线段上的一个动点，过点作轴，交抛物线于点，交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)过点作，垂足为点．设点的坐标为，请用含的代数式表示线段的长，并求出当为何值时有最大值，最大值是多少？此时的值是多少？ (3)试探究点在运动过程中，是否存在这样的点，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由． 12．已知抛物线经过、两点，O为坐标原点，抛物线交正方形的边于点E，点M为射线上一动点，连接，交于点F． (1)求b和c的值及点C的坐标； (2)求证∶ (3)是否存在点M，使为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求ME的长． 13．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C点，顶点M的纵坐标为． (1)直接写出点A的坐标　　　　，点B的坐标　　　　； (2)求出二次函