2023年九年级数学中考专题：二次函数综合压轴题（面积问题）

2023年九年级数学中考专题：二次函数综合压轴题（面积问题） 1．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论a为任何实数，此方程总有两个不相等的实数根； (2)如图，若抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点C，连结与对称轴交于点D． ①求抛物线解析式和点B的坐标； ②若点P是抛物线上位于直线的上方一动点，连接、，过点P作轴，交于点M，求面积的最大值及此时点P的坐标． 2．综合与探究 如图，抛物线与x轴交于A，两点（点A在点B的左侧）．与y轴交于点，直线BC经过B，C两点，点Р是第一象限内抛物线上的一个动点，连接PB，PC． (1)求抛物线的函数表达式； (2)设点P的横坐标为n，四边形的面积为S，求S的最大值并求出此时点P的坐标； (3)在（2）的条件下，当S取最大值时，在PC的垂直平分线上是否存在一点M，使是等腰三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 3．综合与探究如图1，已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C．点是线段上的动点，过点D做轴垂足为E． (1)请直接写出点A，B，C坐标以及直线的解析式； (2)若的面积为S，请求出S关于m的函数关系式，并求出当m的值为多少时，S的值最大？最大值为多少？ (3)如图2，将以点D为中心，顺时针旋转得到（点A与点对应），则当恰好落在抛物线上时，求出此时点D的坐标． 4．如图，抛物线（、为常数）经过和两点，其顶点为． (1)求该抛物线的表达式及其顶点坐标； (2)若点是拋物线上第一象限的一个动点．设的面积为，试求的最大值； (3)若抛物线与线段有两个交点，直接写出的取值范围． 5．如图，在直角坐标系中有，为坐标原点，，，将此三角形绕原点顺时针旋转，得到，二次函数的图象刚好经过，，三点． (1)求二次函数的解析式及顶点的坐标； (2)过定点的直线与二次函数图象相交于M，两点． ①若，求的值； ②证明：无论为何值，恒为直角三角形； ③当直线绕着定点旋转时，外接圆圆心在一条抛物线上运动，直接写出该抛物线的表达式． 6．已知，如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C， ，点P为x轴下方的抛物线上一点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)连接，求四边形面积的最大值； (3)是否存在这样的点P，使得点P到和两边的距离相等，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 7．如图，抛物线过点，，且与y轴交于点C，点E是抛物线对称轴与直线的交点 (1)求抛物线的解析式； (2)求证：； (3)若点P是第四象限内抛物线上的一动点，设点P的横坐标为x，以点B、E、P为顶点的的面积为S，求S关于x的函数关系式，并求S的最大值． 8．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于、两点，交轴于点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2．点为线段上方的抛物线上一动点，点为轴上一个动点，连接、，当面积最大时，求的最小值，并求出此时点的坐标． (3)在（2）的条件下，将抛物线沿着射线方向平移个单位，得到新抛物线，点是新抛物线对称轴上一点，点是新抛物线上一点，直接写出所有使得以点、、、为顶点的四边形是平行四边形的点的坐标． 9．如图，直线与抛物线交于B、C两点（B在C的左侧）． (1)求B、C两点的坐标； (2)直接写出时，x的取值范围； (3)抛物线的顶点为A，求的面积． 10．如图，抛物线（a，b是常数，且）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．并且A，B两点的坐标分别是，，抛物线顶点为D． (1)求抛物线的解析式； (2)若E为线段上一个动点，其横坐标为m，过点E作轴于点F，求当m为何值时，四边形的面积最大？ (3)若点P在抛物线的对称轴上，线段绕点P逆时针旋转后，点A的对应点恰好也落在此抛物线上，请直接写出点P的坐标． 11．如图，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C，直线交于点A，D，直线与交于点E． (1)求抛物线的解析式； (2)若是线段上的动点，过点M作x轴的垂线，交抛物线于点F，交直线点G，交直线于点H． ①抛物线的对称轴与x轴交于点Q，在y轴上是否存在点N，使四边形的周长最小，若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由； ②当点F在直线上方的抛物线上时，时，求m的值． 12．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，是抛物线轴下方的抛物线上一点，连接、、，若的面积是面积的3倍，求点的坐标 (3)如图3，连接､，在抛物线上是否存在点（不与点重合），使得？若存在求出点的横坐标，若不存在说明理由 13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴的交点为点B，过点B作x轴的平行线，交抛物线于点C，连接．现有两动点P，Q分别从O，C两点同时出发，点P以每秒4个单位的速度沿向终点A移动，点Q以每秒1个