专题01 平面向量与三角形的心（重点突围）-【学霸满分】2022-2023学年高一数学下学期重难点专题提优训练（人教A版2019必修第二册）

专题01 平面向量与三角形的心 目录 1. 【题型一】重心 1 2. 【题型二】外心 2 3. 【题型三】内心 3 4. 【题型四】垂心 3 5. 【题型五】中心 3 6. 【题型六】三角形心的综合问题 3 1. 【题型一】重心 【例题】设为的重心，则（   ） A．0 B． C． D． 【变式训练】 1.在△中，，分别为边，的中点，且与交于点，记，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知中，点为边中点，点为所在平面内一点，则“”为“点为重心”（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 3．在中，D，E，F分别是边的中点，点G为的重心，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 4．已知为的重心，D为BC的中点，则下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 5.如图，点G为的重心，过点G的直线分别交直线AB，AC点D，E两点，，，则m＋n＝______． 6．在梯形中，，分别为直线上的动点. (1)当为线段上的中点，试用和来表示； (2)若，求； (3)若为的重心，若在同一条直线上，求的最大值. 2. 【题型二】外心 【例题】已知外接圆圆心O在上，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1.设点P在内且为的外心，，如图.若的面积分别为，x，y，则的最大值是________. 2．已知的外心为O，且，则的值为___________. 3．在中，，．点满足．过点的直线分别与边交于点且，．已知点为的外心，，则为______． 3. 【题型三】内心 【例题】已知，是其内心，内角所对的边分别，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 已知O是平面上一个定点，A，B，C是平面上三个不共线的点，动点P满足条件，则点P的轨迹一定通过的___________心. 4. 【题型四】垂心 【例题】已知是平面内一点，，，是平面内不共线的三点，若，一定是的（    ） A．外心 B．重心 C．垂心 D．内心 5. 【题型五】中心 【例题】已知边长为2的等边为其中心，对①；②；③；④这四个等式，正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6. 【题型六】三角形心的综合问题 【例题】已知点O，P在△ABC所在平面内 ，且，，则点O，P依次是△ABC的（    ） A．重心，垂心 B．重心，内心 C．外心，垂心 D．外心，内心 【变式训练】 1．已知点在所在的平面内，满足，则动点的轨迹一定通过的（    ） A．内心 B．垂心 C．外心 D．重心 2．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知O是内的一点，的面积分别为，则有．设O是锐角内的一点，分别是的三个内角，以下命题正确的有（    ） A．若，则O为的重心 B．若，则 C．若，，则 D．若O为的垂心，则 3．对于给定的，其外心为O，重心为G，垂心为H，内心为Q，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．若A、P、Q三点共线，则存在实数使 4．已知是圆心为O，半径为R的圆的内接三角形，M是圆O上一点，G是的重心．若，则___________． 5．数学家欧拉于1765年在其著作《三角形中的几何学》首次指出：△ABC的外心O，重心G，垂心H，依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线被称为欧拉线．若△ABC中，，，则下列各式中正确的序号是______． ①    ②    ③        ④ 6．已知为所在平面内一点，有下列结论： ①若为的内心，则存在实数使； ②若，则为的外心； ③若，则为的内心； ④若，则与的面积比为． 其中正确的结论是 ________．（写出所有正确结论的序号） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 平面向量与三角形的心 目录 1. 【题型一】重心 1 2. 【题型二】外心 5 3. 【题型三】内心 7 4. 【题型四】垂心 9 5. 【题型五】中心 9 6. 【题型六】三角形心的综合问题 10 1. 【题型一】重心 【例题】设为的重心，则（   ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【详解】因为为重心， 所以， 所以， 【变式训练】 1.在△中，，分别为边，的中点，且与交于点，记，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据题意可得点G为△的重心， 所以． 2．已知中，点为边中点，点为所在平面内一点，则“”为“点为重心”（    ）条件 A．充分不必要