专题38 二次函数与几何图形综合题（7大类型）-2023年中考数学总复习真题探究与变式训练（全国通用）

模块三 重难点题型专项训练 专题38 二次函数与几何图形综合题（7大压轴类型） 考查类型 考查类型一 与线段有关的问题 考查类型二 与图形面积有关的问题 考查类型三 角度问题 考查类型四 与特殊三角形判定有关的问题 考查类型五 与特殊四边形判定有关的问题 考查类型六 与三角形全等、相似有关的问题 考查类型七 与圆有关的运算 新题速递 考查类型一 与线段有关的问题 例1 （2020·吉林长春·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为．若抛物线（、为常数）与线段交于、两点，且，则的值为_________． 【答案】 【分析】根据题意，可以得到点的坐标和的值，然后将点的坐标代入抛物线的解析式，即可得到的值，本题得以解决． 【详解】解：点的坐标为，点的坐标为， ， 抛物线、为常数）与线段交于、两点，且， 设点的坐标为，则点的坐标为，， 抛物线， 解得，． 【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 例2 （2020·山东滨州·中考真题）如图，抛物线的顶点为A(h，－1)，与y轴交于点B，点F(2，1)为其对称轴上的一个定点． （1）求这条抛物线的函数解析式； （2）已知直线l是过点C(0，－3)且垂直于y轴的定直线，若抛物线上的任意一点P(m，n)到直线l的距离为d，求证：PF＝d； （3）已知坐标平面内的点D(4，3)，请在抛物线上找一点Q，使△DFQ的周长最小，并求此时DFQ周长的最小值及点Q的坐标． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）， 【分析】（1）由题意抛物线的顶点A（2，-1），可以假设抛物线的解析式为y=a（x-2）2-1，把点B坐标代入求出a即可． （2）由题意P（m，），求出d2，PF2（用m表示）即可解决问题． （3）如图，过点Q作QH⊥直线l于H，过点D作DN⊥直线l于N．因为△DFQ的周长=DF+DQ+FQ，DF是定值=，推出DQ+QF的值最小时，△DFQ的周长最小，再根据垂线段最短解决问题即可． 【详解】解：（1）设抛物线的函数解析式为 由题意,抛物线的顶点为 又抛物线与轴交于点 抛物线的函数解析式为 （2）证明：∵P（m，n）， ∴， ∴P（m，）， ∴， ∵F（2，1）， ∴， ∵，， ∴d2=PF2， ∴PF=d． （3）如图，过点Q作QH⊥直线l于H，过点D作DN⊥直线l于N． ∵△DFQ的周长=DF+DQ+FQ，DF是定值=， ∴DQ+QF的值最小时，△DFQ的周长最小， ∵QF=QH， ∴DQ+DF=DQ+QH， 根据垂线段最短可知，当D，Q，H共线时，DQ+QH的值最小，此时点H与N重合，点Q在线段DN上， ∴DQ+QH的最小值为6， ∴△DFQ的周长的最小值为，此时Q（4，-）． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，两点间距离公式，垂线段最短等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会用转化的思想思考问题． 二次函数中求线段问题： 1.直接求解线段长度表达式型 2.线段转化型 3.将军饮马问题、胡不归问题、阿氏圆问题等 4.瓜豆原理最值问题，圆中的线段最值 【变式1】（2022·广东珠海·珠海市九洲中学校考一模）如图，二次函数y＝﹣x2+2x+m+1的图象交x轴于点A（a，0）和B（b，0），交y轴于点C，图象的顶点为D．下列四个命题： ①当x＞0时，y＞0； ②若a＝﹣1，则b＝4； ③点C关于图象对称轴的对称点为E，点M为x轴上的一个动点，当m＝2时，△MCE周长的最小值为2； ④图象上有两点P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，则y1＞y2， 其中真命题的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】①错误，由图象可知当a＜x＜b时，y＞0；②错误，当时，；③错误，△MCE的周长的最小值为22；④正确，函数图象在x＞1时，y随x增大而减小，则y2＜y1． 【详解】解：①当a＜x＜b时，二次函数图象在轴上方，则y＞0，故①错误； ②1， ∴当a＝﹣1时，b＝3，故②错误； ③这是将军饮马问题，作E关于x轴的对称点，连接、，如图所示： 当m＝2时，C（0，3），E（2，3）， 与E关于x轴对称， ∴（2，﹣3）， ∴△MCE的周长的最小值就是三点共线时取到为＝2， ∴△MCE的周长的最小值为22，故③错误； ④设x1关于对称轴的对称点 ， ∴＝2﹣x1， ∵x1+x2＞2， ∴x2＞﹣x1+2， ∴x2＞， ∵x1＜1＜x2， ∴x1＜1＜＜x2， ∵函数图象在x＞1时，y随x增大而减小， ∴y2＜y1，则④正确； 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数综合题、最小值