上海市闵行中学2021-2022学年高三下学期开学考试数学试卷

上海市闵行中学2021-2022学年高三下开学考 数学试卷 一、填空题（本大题共有12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1.双曲线的渐近线方程是___________. 2.函数的定义域是________. 3.已知集合，，且中的所有元素的和为，则______. 4.已知满足约束条件，则的取值范围是_________. 5.关于的方程的解为________. 6.已知，且满足，则________. 7.已知二项式的展开式中的系数为，则实数_______. 8.设地球的半径为，若甲地位于北纬东经，乙地位于北纬东经，则甲乙两地的球面距离为________. 9.在中，，则________. 10.某单位员工按年龄分为老、中、青三组，其人数之比为，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为的样本.已知老年职工组中的甲、乙二人均被抽到的概率是，则该单位员工总人数为_________. 11. 已知抛物线，位于第一象限的、两点在抛物线上，焦点为，，则直线的倾斜角等于___________． 12.已知，函数，若存在不相等的三个实数，使得，则实数的取值范围是________. 二、选择题（本大题共有4小题，满分20分，每题5分） 13.若，则　　 A． B． C． D． 14.对24小时内降雨在平地上的积水厚度（mm）进行如下定义： 010 1025 2550 50100 小雨 中雨 大雨 暴雨 小明用一个圆锥形容器接了24小时的雨水，如图所示， 则这天降雨属于　　 A．小雨 B．中雨 C．大雨 D．暴雨 15.已知函数，，则图象为如图的函数可能是 　　 A． B． C． D． 16.设、为单位向量，非零向量，若、的夹角为，则的最大值等于　　 A．1 B． C． D．1 三、解答题（本大题共5题，满分76分） 17.将边长为1的正方形（及其内部）绕旋转一周形成圆柱，如图，，其中与在平面的同侧. （1）求三棱锥的体积； （2）求异面直线与所成角的大小. 18.已知数列，，的前n项和为. （1）若为等差数列，，求公差的值及通项的表达式； （2）若为等比数列，公比，且对任意，均满足，求实数的取值范围. 19.如图，某城市有一矩形街心广场，其中百米，百米.现将在其内部挖掘一个三角形水池种植荷花，点在边上，点在边上，要求. （1）若百米，判断是否符合要求，并说明理由； （2）设，写出的面积关于的表达式，并求的最小值. 20.已知椭圆，是其左、右焦点，是其左、右顶点，过的直线交椭圆于两点，且点在轴上方，为坐标原点. （1）若轴，求线段的长； （2）若的中点为，且点在以为直径的圆上，求点的坐标； （3）若，求直线的方程. 21.已知函数的定义域为区间，若对于给定的实数，存在，使得，则称函数在区间上具有性质. （1）判断函数在区间上是否具有性质，并说明理由； （2）若函数在区间上具有性质，求实数的取值范围； （3）若函数的图像是一条连续不断的曲线，且，求证：函数在区间上具有性质. 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市闵行中学2021-2022学年高三下开学考 数学试卷 一、填空题（本大题共有12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1.双曲线的渐近线方程是___________. 【解析】令，得渐近线方程是. 2.函数的定义域是________. 【解析】由题意得，故定义域是. 3.已知集合，，且中的所有元素的和为，则______. 【解析】由题意得，所以. 4.已知满足约束条件，则的取值范围是_________. 【解析】可行域如图，代入得，代入得， 所以的取值范围是. 5.关于的方程的解为________. 【解析】由题意得，故，所以，所以. 6.已知，且满足，则________. 【解析】由得， 所以． 7.已知二项式的展开式中的系数为，则实数_______. 【解析】展开式中的系数为，所以. 8.设地球的半径为，若甲地位于北纬东经，乙地位于北纬东经，则甲乙两地的球面距离为________. 【解析】两地位于同一经度，纬度差，即，故圆心角为， 所以甲乙两地的球面距离为. 9.在中，，则________. 【解析】因为在中，，，， 由余弦定理得， 所以，即，则，所以． 10.某单位员工按年龄分为老、中、青三组，其人数之比为，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为的样本.已知老年职工组中的甲、乙二人均被抽到的概率是，则该单位员工总人数为_________. 【解析】按分层抽样应该从老年职工组中抽取人， 设老年职工组共有人，则甲乙二人均被抽到的概率为， 解得，所以该单位共有员工人． 11. 已知抛物线，位于第一象限的、两点在抛物线上，