专题8.4 空间内点、直线、平面之间的位置关系-【满分计划】2022-2023学年高一数学阶段性复习精选精练（人教A版2019必修第二册）

专题8.4 空间内点线面的位置关系 一、 平面含义：平面是无限延展的 二、空间中点与直线，点与平面之间的位置关系 1、点在直线上 2、点不在直线上 3、点在平面上 4、点不在平面上 三、三个公理： （1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内. 符号表示为 A∈L L A · α B∈L => A∈α B∈α 公理1作用：判断直线是否在平面内. （2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。C · B · A · α 符号表示为：A、B、C三点不共线 => 有且只有一个平面α， 使A∈α、B∈α、C∈α。 公理2作用：确定一个平面的依据。 （3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。P · α L β 符号表示为：P∈α∩β =>α∩β=L，且P∈L 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据. 四、空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系： 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 共面直线 平行直线：同一平面内，没有公共点； 异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。 2 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为：设a、b、c是三条直线 a∥b=>a∥c c∥b 强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。 公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。 3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. 4 注意点： ① 两条异面直线所成的角θ∈ ② 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b ③ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形； ④ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角 五、空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 1、直线与平面有三种位置关系： （1）直线在平面内 —— 有无数个公共点 （2）直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点 （3）直线在平面平行 —— 没有公共点 指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a α来表示 a α a∩α=A a∥α 2、 平面与平面的位置关系 （1） 平面与平面相交 （2） 平面与平面平行 一、单选题 1．下列命题中，正确命题的个数是（    ） ①四边相等的四边形为菱形； ②若四边形有两个对角都为直角，则这个四边形是圆内接四边形； ③“平面不经过直线”的等价说法是“直线上至多有一个点在平面内”； ④若两个平面有一条公共直线，则这两平面的所有公共点都在这条公共直线上． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据空间四边形可判断①②错误，有平面的基本性质可判断③④正确. 【详解】由空间四边形可判断①②错误. “平面不经过直线”即直线与平面相交或者平行，所以③正确. 由平面的基本性质，如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线,可判断④正确. 故选：B 2．在空间四边形ABCD的各边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点，若EF∩GH＝P，则点P（    ） A．一定在直线BD上 B．一定在直线AC上 C．既在直线AC上也在直线BD上 D．既不在直线AC上也不在直线BD上 【答案】B 【分析】由题意可得P∈平面ABC，P∈平面ACD，又平面ABC∩平面ACD＝AC，则P∈AC，可得答案． 【详解】如图， ∵EF⊂平面ABC，GH⊂平面ACD，EF∩GH＝P， ∴P∈平面ABC，P∈平面ACD， 又平面ABC∩平面ACD＝AC， ∴P∈AC，即点P一定在直线AC上． 故选：B． 3．以下四个图中，表示直线与平行的是（    ） A． B． C．D． 【答案】C 【分析】根据两直线的位置关系的定义结合图形一一判断求解. 【详解】 对A，如图，若直线与平行，则共面，与图示矛盾，故A错误； 对B，根据图示，直线与异面，B错误； 对C，根据三角形的相似关系可得直线与平行，C正确； 对D，如图，若直线与平行，则共面，与图示矛盾，故D错误； 故选:C. 4．如图所示，P是正方体中棱上异于端点的一个内点，联结并延长，则与直线（    ） A．相交 B．相交 C．相交 D．相交 【答案】D 【分析】根据异面直线的含义可判断；根据线面平行的性质可判断B；说明四边形为梯形，可判断D. 【详解】由题意，P是正方体中棱上异于端点的一个内点，联结并延长， 则平面，而平面， 故与为异面直线，A错误； 因为平面，平面， 故平面，则与直线不可能相交，B错误； 平面，平面， 故与为异面直线，C错误； 由题意知,且，故四