6.3平面向量的基本定理及坐标运算同步训练-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

平面向量的基本定理及坐标运算 一、选择题（共12小题） 1. 一质点受到平面上的三个力 ，，（单位：）的作用而处于平衡状态．已知 ， 成 角，且 ， 的大小分别为 和 ，则 的大小为 A. B. C. D. 2. 已知向量 ，，，且 ，则 ， 的值分别为 A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知 ，，，若 ，则 A. B. C. D. 4. 中，点 在边 上， 平分 ，若 ，，，，则 A. B. C. D. 5. 设 为 所在平面内一点，，则 A. B. C. D. 6. 已知点 ， 是平行四边形 的边 和 的中点，那么下列等式中正确的是 A. B. C. D. 7. 在矩形 中，，， 为矩形内一点，且 ，若 ，则 的最大值为 A. B. C. D. 8. 在 中，，，记 ，，则 A. B. C. D. 9. 已知 和点 满足 ．若存在实数 使得 成立，则 A. B. C. D. 10. 已知 ，， 为坐标原点，点 在 内，且 ，设 ，则 等于 A. B. C. D. 11. 在 中，点 是斜边 的中点，点 为线段 的中点，则 A. B. C. D. 12. 设 为 的外心，且 ，则 的内角 A. B. C. D. 二、填空题（共5小题） 13. 如图，在四边形 中，， 为 的中点，且 ，则  ． 14. 已知下列四个命题： ①对任意两向量 ，，均有 ； ②若在 中，，则 是线段 的中点； ③在四边形中，若 ，则 为平行四边形； ④若 ，则 ． 其中正确命题的序号是  ． 15. 设 ， 分别是 的边 ， 上的点，，．若 （， 为实数），则 的值为  ． 16. 如图，在 中，， 是 上的一点，若 ，则实数 的值为  ． 17. 已知向量 ，，若 ，则 的值为  ． 三、解答题（共5小题） 18. 设 ， 不共线，求证：点 在直线 上的充分必要条件是 且 ． 19. 已知点 ， 为单位圆 上的两点，点 为单位圆 所在平面内的一点，且 与 不共线． （1）在 中，点 在 上，且 ，若 ，求 的值； （2）如图，点 满足 （ 为常数），若四边形 为平行四边形，求 的值． 20. 如图，在平行四边形 中，，，，， 与 的夹角为 ． （1）若 ，求 ， 的值； （2）求 的值． 21. 如图所示，在 中，点 是 的中点，点 在边 上，且 ， 与 相交于点 ．求证： ． 22. 如图， 是矩形 的边 上的一点， 与 相交于点 ，． （1）求证： 是 的中点； （2）若 ，， 是 上异于点 的一动点，求 的最小值． 答案 第一部分 1. D 2. D 3. C 【解析】因为 ，，所以 ． 又因为 ，所以 ，解得 ． 4. B 【解析】由于点 在 的平分线上，依据菱形性质，可设 ． 由于点 在 上，可设 ，则 ，即 ． 所以 解得 ， 所以 ． 5. A 【解析】，， 因为 ， 所以 ，整理得 ． 6. D 7. A 【解析】因为 ，两边平方得 ，所以 ． 因为 ，所以 ． 8. A 【解析】 由 9. B 【解析】由 知，点 为 的重心，设 为边 的中点，则 ，所以有 ，故 ． 10. C 【解析】由向量的平行四边形法则，可得 ，且 ． ，所以 ． 11. D 【解析】因为 ， 所以 ． 因为 ，所以 ． 所以 ． 又 ，， 所以 ， 所以 ． 12. B 【解析】 由 为 的外心，设 垂直平分 ．又 ，且 ，而 ，所以 ，所以 ， ，得 . 第二部分 13. 14. ②③ 【解析】若两向量 ， 方向相反，则①不对； 由向量平行四边形法则可知②对； ③中向量等式化简后为 ，说明 ，，所以③对； 由向量平行四边形法则可知④不对． 15. 【解析】如图， ， 又 ，且 与 不共线， 所以 ，， 即 ． 16. 【解析】由 ，得 ．由 、 、 三点共线，所以 ． 17. 【解析】由 ，， 可得 ， 由已知可得