上海市闵行中学2021-2022学年高二上学期期末考试数学试卷

上海市闵行中学2021-2022学年高二上期末数学试卷 一、填空题(本大题共有12小题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分) 1.空间两条直线的位置关系有_. 2.直线的倾斜角为_. 3.若一个球的体积为,则它的表面积为_. 4.椭圆上一点到一个焦点的距离为2,则点到另一个焦点的距离是_. 5.若圆锥底面半径为1,高为,则其侧面积为_. 6.若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合,则实数的值是_. 7.直线与圆交于、两点,则_. 8.二面角为,则异面直线、分别垂直于、,则与所成角的大小是_. 9.已知点是曲线上的动点,则点到直线距离的取值范围是_. 10.函数的值域是_. 11.已知双曲线的左、右焦点分别为、,点是双曲线右支上一点,满足,点是线段上一点,满足.现将沿折成直二面角,若使折叠后点、距离最小,则_. 12.已知曲线的方程为,集合,若对于任意的,都存在,使得成立,则称曲线为曲线.下列方程所示的曲线中,是曲线的有_.(写出所有曲线的序号) ①;②;③;④; ⑤. 二、选择题(本大题共有4小题,满分20分,每题5分) 13.在空间内,直线与平面所成角的取值范围是( ). A. B. C. D. 14.在直线与双曲线位置关系中,“公共点只有一个”是“直线与双曲线相切”的( ). A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 15.正方体中,为的中点,在底面内运动,且满足,则点的轨迹为( ). A.圆的一部分 B.椭圆的一部分 C.双曲线的一部分 D.抛物线的一部分 16.已知抛物线,圆,若点、分别在、上运动,且设点,则的最小值为( ). A. B. C. D. 三、解答题(本大题共5题,满分76分) 17.如图,设计一个正四棱锥形冷水塔,高是3米,底面的边长是8米. (1)求这个正四棱锥形冷水塔的容积(冷水塔的厚度忽略不计); (2)制造这个冷水塔的侧面需要多少平方米的钢板? 18.如图,在正四棱柱中,,,点是的中点. (1)求异面直线与所成角的余弦值; (2)求直线与平面所成角的正弦值. 19.已知方程所表示的曲线为E,点,直线. (1)当直线与曲线只有一个公共点时,求的值; (2)若,求曲线上的动点到点的距离的最小值. 20.已知双曲线与双曲线的渐近线相同,且经过点. (1)求双曲线的方程; (2)已知直线与双曲线交于不同的两点,,且线段的中点在圆上,求实数的值; (3)在(2)的条件下,若双曲线的右顶点为,求的面积. 21.在平面直角坐标系中,为坐标原点,,已知平行四边形两条对角线的长度之和等于4. (1)求动点的轨迹方程; (2)过作互相垂直的两条直线、,与动点的轨迹交于、,与动点的轨迹交于点、,、的中点分别为、;证明:直线恒过定点,并求出定点坐标; (3)在(2)的条件下,求四边形面积的最小值. 学科网(北京)股份有限公司 $ 上海市闵行中学2021-2022学年高二上期末数学试卷 一、填空题（本大题共有12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．空间两条直线的位置关系有______． 【答案】平行，相交，异面 2．直线的倾斜角为______． 【解析】设直线的倾斜角为，，则，所以． 3．若一个球的体积为，则它的表面积为______． 【解析】因为球的体积为，所以球的半径为，球的表面积为． 4．椭圆上一点到一个焦点的距离为2，则点到另一个焦点的距离是______． 【解析】椭圆，得，椭圆上一点到一个焦点的距离为2， 则点到另一个焦点的距离是． 5．若圆锥底面半径为1，高为，则其侧面积为______． 【解析】圆锥的高位，底面半径为1，所以圆锥的母线为2， 圆锥的侧面积为． 6．若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则实数的值是______． 【解析】双曲线的方程为，，，得， 因此双曲线的右焦点为， 因为抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合 所以，解得. 7．直线与圆交于、两点，则______． 【解析】圆的圆心到直线的距离， 又圆的半径，则． 8．二面角为，则异面直线、分别垂直于、，则与所成角的大小是______． 【解析】因为二面角的平面角为，有两条异面直线，分别垂直于平面， 设异面直线、的夹角为，则． 9．已知点是曲线上的动点，则点到直线距离的取值范围是______． 【解析】曲线是圆的圆心半径为1是圆的上半部分， 如图，点是曲线上的动点， 则点到直线距离的最大值为， 最小值为． 点到直线距离的取值范围是． 10．函数的值域是______． 【解析】令，则，令， 则，所以， 所以，所以， 所以函数的值域是. 11．已知双曲线的左、右焦点分别为、，点是双曲线右支上一点，满足，点是线段上