第五章 一元函数的导数及其应用单元检测-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

第五章 一元函数的导数及其应用单元检测 一、单选题 1．降低室内微生物密度的有效方法是定时给室内注入新鲜空气，即开窗通风换气.在某室内，空气中微生物密度（c）随开窗通风换气时间（t）的关系如下图所示.则下列时间段内，空气中微生物密度变化的平均速度最快的是（    ） A． B． C． D． 2．某跳水运动员离开跳板后，他达到的高度与时间的函数关系式是（距离单位：米，时间单位：秒），则他在0.25秒时的瞬时速度为（　  　） A．6.75米/秒 B．6.55米/秒 C．5.75米/秒 D．5.55米/秒 3．若过点可以作曲线的两条切线，则（    ） A． B． C． D． 4．已知，则（    ） A．0 B． C．2 D． 5．函数在点处切线方程为（    ） A． B． C． D． 6．下列求导运算过程中，正确的是（    ）． A． B． C． D． 7．当时，不等式成立.若，则（    ） A． B． C． D． 8．已知过点不可能作曲线的切线．对于满足上述条件的任意的b，函数恒有两个不同的极值点，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知点，在函数的图像上，若函数从到的平均变化率为，则下面叙述正确的是（    ） A．曲线的割线AB的倾斜角为 B．曲线的割线AB的倾斜角为 C．曲线的割线AB的斜率为 D．曲线的割线AB的斜率为 10．（多选）下列说法中错误的是（    ） A．若不存在，则曲线在处没有切线 B．若曲线在处有切线，则必存在 C．若存在，则曲线在处的切线的斜率存在 D．若曲线在处的切线的斜率不存在，则曲线在该点处没有切钱 11．给出定义：若函数在上可导，即存在，且导函数在上也可导，则称在上存在二阶导函数，记，若在上恒成立，则称在上为凸函数．以下四个函数在上不是凸函数的是（    ） A． B． C． D． 12．已知函数，其中实数，则下列结论正确的是（　　） A．必有两个极值点 B．有且仅有3个零点时，的范围是 C．当时，点是曲线的对称中心 D．当时，过点可以作曲线的3条切线 三、填空题 13．函数在其图象上的点处的切线方程为________． 14．设点是曲线上任意一点，直线过点与曲线相切，则直线的倾斜角的取值范围为______. 15．已知函数是定义在上的可导函数，其导函数为，若，且对任意的恒成立，则不等式的解集为________． 16．已知函数则函数的零点个数为___________． 四、解答题 17．在受到制动后的t秒内一个飞轮上一点P旋转过的角度(单位：弧度)由函数φ(t)＝4t－0.3t2(单位：秒)给出. （1）求t＝2秒时，P点转过的角度； （2）求在2≤t≤2＋Δt时间段内P点转过的平均角速度，其中①Δt＝1，②Δt＝0.1，③Δt＝0.01. 18．已知函数. (1)当时，函数的图像上任意一点处的切线斜率为，若，求实数的取值范围； (2)若，求曲线过点的切线方程. 19．求下列函数的导函数： (1) (2) (3) 20．已知函数，在处取得极小值． (1)求函数的解析式； (2)求函数的极值； (3)设函数，若对于任意，总存在，使得，求实数a的取值范围． 21．已知函数． (1)若，求函数的单调区间； (2)若，且在区间上恒成立，求a的取值范围； (3)若，判断函数的零点的个数． 22．已知函数和函数有相同的最大值，直线与两曲线和恰好有三个交点，从左到右三个交点横坐标依次为. (1)求实数的值； (2)求证：. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 答案 1．C 2．D 3．B 4．D 5．C 6．A 7．D 8．A 9．BC 10．ABD 11．AD 12．ABD 13． 14． 15． 16．5 17.解析 (1)当t＝2时，φ(2)＝4×2－0.3×22＝8－1.2＝6.8(弧度). (2)∵＝ ＝ ＝4－1.2－0.3Δt＝2.8－0.3Δt， ∴①当Δt＝1时，平均角速度为＝2.8－0.3×1＝2.5(弧度/秒)； ②当Δt＝0.1时，平均角速度为＝2.8－0.3×0.1＝2.77(弧度/秒)； ③当Δt＝0.01时，平均角速度为＝2.8－0.3×0.01＝2.797(弧度/秒). 18．（1）函数的导数为， 由题意可得当时，恒成立， 即有，由勾函数的性质知， 函数在和上单调递增，在和上单调递减， 所以，即有，则， 所以a的取值范围是. （2）函数的导数为， 设切点为，则，在处的斜率为， 即有切线方程为， 将代入可得， 整理可得，解得或， 即有所求切线的方程为或， 即或. 19．（1）， . （2）， . （3）， ， . 20．（1）∵，则， 由题意可得 ，解得， 则函数的解析式为，且， 令，解得：， 则当变化时，的