6.4.3 课时1 余弦定理（精讲）-【题型分类归纳】2022-2023学年高一数学同步讲与练(人教A版2019必修第二册)

6.4.3 课时1 余弦定理 重点：余弦定理的发现和证明过程及其应用，体会向量方法推导余弦定理的思想 难点：利用向量的数量积证明余弦定理的思路方法，余弦定理在解三角形中的思路 一、余弦定理： 1、公式表达：a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC 2、语言叙述：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍 【注意】余弦定理的特点 （1）适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立． （2）揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系，它含有四个不同的量，知道其中的三个量，就可求得第四个量． 3、推论：cos A＝，cos B＝，cos C＝ 4、余弦定理的推导示例：在中，内角，，所对的边分别为，， 如图，因为， ∴， 即 从而 同理，根据，， 可以得到， 二、解三角形 1、解三角形：一般地，三角形的三个角，，和她们的对边，，叫做三角形的元素. 已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形. 2、余弦定理在解三角形中的应用 （1）类型1：已知两边及一角，解三角形 方法概要：先利用余弦定理求出第三边，其余角的求解有两种思路： 一是利用余弦定理的推论求出其余角； 二是利用正弦定理(已知两边和一边的对角)求解； （2）类型2：已知三边解三角形 法一：已知三边求角的基本思路是：利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值，值为正，角为锐角；值为负，角为钝角，其思路清晰，结果唯一 法二：若已知三角形的三边的关系或比例关系，常根据边的关系直接代入化简或利用比例性质，转化为已知三边求解 三、判断三角形形状时常用到的结论 1、为直角三角形或或 2、为锐角三角形，且，且 3、为钝角三角形，且，且 4、若，则或 题型一 已知两边与一角解三角形 【例1】（2022春·上海黄浦·高一格致中学校考阶段练习）满足条件的的个数为（ ） A．一个 B．两个 C．不存在 D．无法判断 【变式1-1】（2022春·四川眉山·高一统考期末）在中，已知，，，则边（ ） A． B．3 C． D．2 【变式1-2】（2022春·福建福州·高一校联考期末）在中，，，.则（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-3】（2023·高一课时练习）的三个内角所对边的长分别为，已知，，，则的值为______． 题型二 已知三边解三角形 【例2】（2022春·福建泉州·高一校考阶段练习）在中，若，则（ ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2022春·浙江丽水·高一校考阶段练习）在中，，则的最小角为（ ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2022春·山西晋中·高一校考阶段练习）已知中，，则等于（ ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2022·高一单元测试）在中，若，则的最大内角为（ ） A． B． C． D． 题型三 判断三角形的形状 【例3】（2022·全国·高一）在中，若，则该三角形一定是（ ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．不能确定 【变式3-1】（2022·高一课时练习）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则该三角形一定是（ ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【变式3-2】（2022春·吉林长春·高一校考期中）在中，角的对边分别为，若，且，则为（ ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形 【变式3-3】（2022春·辽宁葫芦岛·高一校联考阶段练习）若三角形的三边长度分别为2，2021，2022，则该三角形的形状是（ ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定 【变式3-4】（2022春·上海浦东新·高一华师大二附中校考阶段练习）已知的三边a､b､c满足：，则此三角形是（ ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．无法确定 题型四 求边或角的取值范围 【例4】（2023·高一课时练习）若锐角三角形三边长分别为，则的范围是（ ）． A．