7.3 复数的三角形式（单元教学设计）-【大单元教学】高一数学同步备课系列（人教A版2019必修第二册）

7.3 复数的三角形式（单元教学设计） 一、【单元目标】 复数的三角形式把向量和复数的模有机的结合起来，使得复数的内容更加充实、生动、形象，是复数代数内容的升华，教材联系了复数的代数形式，并把它与三角形式相融合，两种形式互化，可以使知识体系更加完备、灵活。另外，复数的三角形式是其乘法、除法、乘方、开方运算的基础，教材从引入到实例的设置由浅入深，层层深入，逐步引导学生去体会，学习。教学中注意教材的内容设置，把教材，分析教材，灵活处理教材与学生的实际相结合。可以说，复数的三角形式是承接复数代数形式的同时，也是后面复数三角形式运算打下伏笔和基础，因此，复数的三角形式在复数的教学中显得至关重要。 二、【单元知识结构框架】 复习回顾： 复数的几何意义及复数的模： 复数z=a+bi有序实数对（a，b）点Z（a，b）向量 预习新知 1.复数的三角形式 z＝a+bi＝r（cos θ+isin θ）的右边称为非零复数z＝a+bi的三角形式，其中的θ称为z的辐角. 在［0，2π）内的辐角称为z的辐角主值，记作arg z. 为了求出一个非零复数的三角形式，只要求出这个复数的模，然后再找出复数的一个辐角（比如辐角主值）即可. 2.复数三角形式的乘法法则 r1（cos θ1+isin θ1）×r2（cos θ2+isin θ2）＝r1r2［cos（θ1+θ2）+isin（θ1+θ2）］. 模相乘，辐角相加. 三、【学情分析】 1．认知基础 复数的三角形式是复数的一种重要表达形式对于复数的运算有着非常重要的意义学好复数的三角形式是能更好运用复数的重要支点 2.认知障碍 一方面，培养学生的观察、推理和归纳的能力，养成细心观察、主动探究、善于总结的良好思维习惯。另一方面，通过复数的模、辐角和辐角主值以及复数的三角形式的学习，使学生的计算技能得到锻炼和提高. 四、【教学设计思路/过程】 课时安排： 约1课时 1. 教学重点：掌握复数的三角表示、复数的代数表示与三角表示之间的关系，辐角、辐角主值等概念。 掌握复数乘法，乘方的三角表示及几何意义. 教学难点： 复数乘法运算的三角表示及其几何意义. 教学方法/过程： 了解复数三角形式相关知识 一、基础知识 （1）复数的三角形式 ①定义：复数z=a+bi （a,b∈R）表示成r （cosθ+ isinθ）的形式叫复数z的 三角形式。即z=r（cosθ+ isinθ） 其中 ，θ为复数z的辐角。 ② 非零复数z辐角θ的多值性： 以ox轴正半轴为始边，向量所在的射线为终边的角θ叫复数z=a+bi的辐角 因此复数z的辐角是θ+2k（k∈z） ③ 辐角主值 表示法；用arg z 表示复数z的辐角主值。 定 义：适合[0，2）的角θ叫辐角主值 唯一性：复数z的辐角主值是确定的，唯一的。 ④不等于零的复数的模是唯一的。 ⑤z=0时，其辐角是任意的。 ⑥复数三角形式中辐角、辐角主值的确定。（求法） 这是复数计算中必定要解决的问题，物别是复数三角形式的乘法、除法、乘方、开方等运算，尤其是逮美佛定理定理只有对复数三角形式时才能使用。因此复数化三角式是复数运算中极为重要的内容（也是解题术）复数在化三角式的过程中其模的求法是比较容易的。辐角的求法，辐角主值的确定是难点，也是关键存在，这个专题只简单归纳复数辐角及辐角主值的求法。 （2）复数的向量表示 在复平面内与复数z1、z2对应的点分别 为z1、z2（如图） 向量， 向量， 向量 与复数z2－z1对应的向量为，显然oz∥z1z2 则argz1=∠xoz1=θ1 argz2=∠xoz2=θ2 ，argz（z2－z1）=arg z=∠xoz=θ （3）复数运算的几何意义：主要是三角式乘法、除法等运算中辐角的变化 如z1=r1（cosθ1+isinθ1） z2=r2（cosθ2+isinθ2） 1 乘法：z=z1· z2=r1·r2 [cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)] ② 除法 （其中 z2≠0） 任务2：能将复数的代数形式和三角形式相互转化 二、基本方法： 求复数的辐角、辐角主值主要介绍以下方法： （1）化复数为三角形式 如 求复数 这样化成三角式 ∴复数的辐角是（）， 辐角主值为 ∵ 这个复数对应的点在复平面内第四象限， 也可以化三角式为 （2）直接求辐角及主值：主要是使用复数代数式 、三角式的互化： 若z=a+bi （a,b∈R） 则辐角为θ，则，θ依点z（a,b）所在象限确定。 如上例 设辐角为θ则tgθ=－1， ∵ 点z（）在第四象限 ∴ tgθ=tg，，而arg